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a
n—
a
n-1
等比数列性质
=q(q丰0)(n>2,且ngN*),
q称为公比
:
=aqn-i
1
=A-Bn(a-q丰0,A-B丰0),
1
首项ai;公比:q
从而得qn-m
当q=1时,
当q丰1时,
=na
(1-qn)
1-q
1-q
推广:a=aqn-m,nm
等比中项
如果a,A,b成等比数列,:A2=ab或A=±Uab注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
数列}是等比数列oa2=a-a
nnn-1n+1
等比数列的前n项和S公式:n
1-q1-q
qn=A—A-Bn=A'Bn—A'(A,B,A',B'为常数)
等比数列的判定方法
用定义:对任意的n,都有a=qa或%卄=q(q为常数,a丰0)o{a}为等比数列
n+1nann
n
等比中项:a2=aa(aa丰0)o{a}为等比数列
nn+1n-1n+1n-1n
通项公式:a=A-Bn(A-B丰0)O{a}为等比数列
nn
前n项和公式:S=A—A-Bn或S=A'Bn—A'(A,B,A',B'为常数)o{a}为等比数列
nnn
等比数列的证明方法
依据定义:若上—=q(q丰0)(n>2,且ngN*)或a=qao{a}为等比数列
an+1nn
n—1
注意
(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a、q、n、a及S,其中a、q称作为
1nn1
基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;a=aqn—1
n1
aa
如奇数个数成等差,可设为…,—,一,a,aq,aq2…(公比为q,中间项用a表示);
q2q

⑴当q丰1时
①等比数列通项公式a
n
=aqn-i
1
a
=—iqn
q
=A-Bn(a-B丰0)是关于n的带有系数的类指数函数,底数为公比q
②前n项和S
n
a(1-qn)a-aqn
—1=ii一
1-q1-q
aa
1一—qn=A一A-Bn=ABn-A,系数和常数项是互为相反
1-q1-q
数的类指数函数,底数为公比q
⑵对任何m,nEN*,在等比数列{a}中,有a=aqn-m,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公nnm
,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
⑶若m+n=s+t(m,n,s,teN*),则a-a=a-,当n+m=2k时,得a-a=a2
nmstnmk
注:a-a=a-a=aa…
1n2n-13n-2
⑷列{a},{b}为等比数列,则数列{—},{k-a},{ak},{k-a-b}{,}(k为非零常数)均为等比数nnannnnb
nn
列.
⑸数列{a}为等比数列,每隔k(keN*)项取出一项(a,a,a,a,…)仍为等比数列
nmm+km+2km+3k
⑹如果{a}是各项均为正数的等比数列,则数列{loga}是等差数列
nan
(7)若{a}为等比数列,则数列S,S-S,
nn2nn
⑻若{a}为等比数列,则数列a-a••…a,
n12n
S-S,…,成等比数列
3n2n
a•a•••••a,a•a
n+1n+22n2n+12n+2
a成等比数列
3n
②当0<q<1时,
{a>0,贝lj{a}为递增数列
1n
a<0,贝lj{a}为递减数列
1n
{a>0,则{a}为递减数列1n
a<0,则{a}为递增数列
1n
⑼①当q>1时,
当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列{a}中,当项数为2n(ne
n
(11)若{a}是公比为q的等比数列,则S=S+qn•S
nn+mnm