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知识梳理:
a
1、等比数列的定义:nqq0n2,且nN*,q称为公比
a
n1
2、通项公式:
a
aaqn11qnABnaq0,AB0,首项:a;公比:q
n1q11
aa
nmnmnn
推广:aaqqqnm
nmaa
mm
3、等比中项:
(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项,即:A2ab或Aab
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项
互为相反数)
(2)数列a是等比数列a2aa
nnn1n1
4、等比数列的前n项和S公式:
n
(1)当q1时,Sna
n1
a1qnaaq
(2)当q1时,S11n
n1q1q
aa
11qnAABnA'BnA'(A,B,A',B'为常数)
1q1q
5、等比数列的判定方法:
a
(1)用定义:对任意的n,都有aqa或n1q(q为常数,a0){a}为
n1nann
n
等比数列
(2)等比中项:a2aa(aa0){a}为等比数列
nn1n1n1n1n
(3)通项公式:aABnAB0{a}为等比数列
nn
6、等比数列的证明方法:
a
依据定义:若nqq0n2,且nN*或aqa{a}为等比数列
an1nn
n1
7、等比数列的性质:
(1)当q1时
a
①等比数列通项公式aaqn11qnABnAB0是关于n的带有系数的类
n1q
指数函数,底数为公比q;

a1qnaaqnaa
②前n项和S11111qnAABnA'BnA',系
n1q1q1q1q
数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q。
(2)对任何m,nN*,在等比数列{a}中,有aaqnm,特别的,当m1时,便得
nnm
到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3)若mnst(m,n,s,tN*),则aaaa。特别的,当mn2k时,得
nmst
aaa2注:aaaaaa
nmk1n2n13n2
ka
(4)数列{a},{b}为等比数列,则数列{},{ka},{ak},{kab},{n}(k
nnannnnb
nn
为非零常数)均为等比数列。
(5)数列{a}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(a,a,a,a,)仍为等
nmmkm2km3k
比数列
(6)如果{a}是各项均为正数的等比数列,则数列{loga}是等差数列
nan
(7)若{a}为等比数列,则数列S,SS,SS,,成等比数列
nn2nn3n2n
(8)若{a}为等比数列,则数列aaa,aaa,aaa成
n12nn1n22n2n12n23n
等比数列
a0,则{a}为递增数列
{1n
(9)①当q1时,a0,则{a}为递减数列
1n
a0,则{a}为递减数列
{1n
②当0<q1时,a0,则{a}为递增数列
1n
③当q1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
④当q0时,该数列为摆动数列.
S1
(10)在等比数列{a}中,当项数为2n(nN*)时,奇
nSq
偶
二例题解析
n
【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=p(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.()
≠0时是等比数列
≠0,p≠
【例2】已知等比数列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n.
1
【例3】等比数列{a}中,(1)已知a=4,a=-,求通项公
n252
式;(2)已知a3·a4·a5=8,求a2a3a4a5a6的值.
【例4】设a、b、c、d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.
【例5】求数列的通项公式:
(1){an}中,a1=2,an+1=3an+2
(2){an}中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
三考点分析
考点一:等比数列定义的应用
14
1、数列a满足aan2,a,则a_________.
nn3n1134
2、在数列a中,若a1,a2a1n1,则该数列的通项a______________.
n1n1nn
考点二:等比中项的应用
1、已知等差数列a的公差为2,若a,a,a成等比数列,则a()
n1342
A.4B.6C.8D.10
2、若a、b、c成等比数列,则函数yax2bxc的图象与x轴交点的个数为()

20
3、已知数列a为等比数列,a2,aa,求a的通项公式.
n3243n
考点三:等比数列及其前n项和的基本运算
291
1、若公比为的等比数列的首项为,末项为,则这个数列的项数是()
383

2、已知等比数列a中,a3,a384,则该数列的通项a_________________.
n310n
3、若a为等比数列,且2aaa,则公比q________.
n465
2aa
4、设a,a,a,a成等比数列,其公比为2,则12的值为()
12342aa
34
111

428
1
5、等比数列{a}中,公比q=且a+a+…+a=30,则a+a+…+a=______________.
n22410012100
考点四:等比数列及其前n项和性质的应用
1、在等比数列a中,如果a6,a9,那么a为()
n693
316

29
2、如果1,a,b,c,9成等比数列,那么()
3,ac3,ac9
3,ac3,ac9
3、在等比数列a中,a1,a3,则aaaaaaaa等于()
n**********

4、在等比数列a中,aaaa0,aab,则aa等于()
n9**********
b9b9b10b10
..
a8aa9a
5、在等比数列a中,a和a是二次方程x2kx50的两个根,则aaa的值为()
n35246
.55D.55
6、若a是等比数列,且a0,若aa2aaaa25,那么aa的值等于
nn24354635
S,(n1)
考点五:公式a1的应用
nSS,(n2)
nn1
1、若数列的前n项和S=a+a+…+a,满足条件logS=n,那么{a}是()
n12n2nn
1

2

2、等比数列前n项和n,则前n项的平方和为()
Sn=2-1
11
A.(2n-1)2B.(2n-1)-1D.(4n-1)
33
3、设等比数列{a}的前n项和为S=3n+r,那么r的值为______________.
nn
4、设数列{a}的前n项和为S且S=3,若对任意的n∈N*都有S=2a-3n.
nn1nn
(1)求数列{a}的首项及递推关系式a=f(a);
nn+1n
(2)求{a}的通项公式;
n
(3)求数列{a}的前n项和S.
nn