高中数学公式及知识点总结大全(精华版).pdf

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高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1设2121],,[xxbaxx<∈、那么
],[(0((21baxfxfxf在⇔<-上是增函数;],[(0((21baxfxfxf在⇔>-上是
减函数.
(2设函数(xfy=在某个区间内可导,若0(>'xf,则(xf为增函数;若0(<'xf,则
(xf为减
函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x,都有((xfxf=-,则(xf是偶函数;对于定义域内任意的
x,都有((xfxf-=-,则(xf是奇函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关
于y轴对称。3、函数(xfy=在点0x处的导数的几何意义
函数(xfy=在点0x处的导数是曲线(xfy=在(,(00xfxP处的切线的斜率(0x
f',相应的切线方程是((000xxxfyy-'=-.
*二次函数:(1顶点坐标为24(,24bacbaa--;(2焦点的坐标为241(,24bacbaa
-+-4、几种常见函数的导数
①':.
C0=;②1'(-=nnnxx;③xxcos(sin'=;④xxsin(cos'-=;
⑤aaaxxln('=;⑥x
xee='(;⑦axxaln1(log'
=
;⑧x
x1(ln'
=5、导数的运算法则
(1'
'
'
(uvuv±=±.(2'
'
'
(uvuvuv=+.(3''
'2
((0uuvuvvvv-=
≠.6、会用导数求单调区间、极值、最值:.
7、求函数(yfx=的极值的方法是:解方程(0fx'=.当(00fx'=时:(1如果在0x
附近的左侧(0fx'>,右侧(0fx'<,那么(0fx是极大值;(2如果在0x附近的左侧(0fx
'<,右侧(0fx'>,那么(、对数函数
分数指数幂
(1mn
a=0,,amnN*>∈,且1n>.
(21mn
mn
a
a
-
=
=
0,,amnN*
>∈,且1n>.
根式的性质
(1当n
a=;当n
,0:.
||,0
aaaaa≥⎧==⎨-<⎩.
有理指数幂的运算性质
10页
(1rs
aa⋅=
(2(rsrs
aa
=
(3(rr:.
abab
=
注:若a>0,
指数幂都适用.
.(0,1,0
aaN
>≠>.
.1
a≠,0
m>,且1
m≠,0
N>.
对数恒等式:.
推论logmn
a
b.
常见的函数图象
8
22:.
sincos
θθ
+
9
α
π±
kα看成锐角时该函数的符号;
α
π
π±
+
2
kα看成锐角时该函数的符号。((
1sin2kπα
+=((
2tan
kk
παα
+=∈:.
((
2sinπα
+=-(tan
παα
+=.
((
3sinsin
α
-=-tanα
=-.
((
4sinπα
-=tan
παα
-=-.
(5sin
2
π
α:.
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos
2
π
αα
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
,cossin2
π
αα⎛⎫
+=-⎪
⎝⎭
.
10:.
sin(
αβ
±=
cos(
αβ
±=
第3页(共10页
tantantan(1tantanαβ
αβαβ
±±=
.
11、二倍角公式
sin2sincosααα=.
2222cos2cossin2cos112sinααααα=-=-=-.
2
2tantan21tanα
αα
=-.公式变形:;
2:.
2cos1sin,2cos1sin2;
2
2cos1cos,2cos1cos22222α
αααα
ααα-=-=+=+=
12、函数sin(yxωϕ=+的图象变换
①的图象上所有点向左(右平移个单位长度,得到函数(sinyxϕ=+的图象;再
将函数(sinyxϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变,得到函数(sinyxωϕ=+的图象;
再将函数(sinyxωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短到原来的A倍(横坐
标不变,得到函数
(sinyxωϕ=A+的图象.
②数sinyx=的图象上所有点的横坐标伸长(缩短到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变,得到函数
sinyxω=的图象;再将函数sinyxω=的图象上所有点向左(右平移:.
ϕ
ω
个单位长度,得到函数(sinyxωϕ=+的图象;再将函数(sinyxωϕ=+的图象上所
有点的纵坐标伸长(缩短到原来的A倍
(横坐标不变,得到函数(sinyxωϕ=A+的图象.
第4页(共10页:.
14、辅助角公式
sin(cossin22ϕ++=+=xbaxbxay其中a
b
=
:
2sinsinsinabc
RABC
===(R为ABC∆,2sin,2sinaRAbRBcRC
⇔===::sin:sin:sinabcABC⇔=
:.
2222cosabcbcA=+-;2222cosbcacaB=+-;2222coscababC=+-.

(1111
222abcSahbhch=
==(abchhh、、分别表示a、b、c边上的高.(2111
sinsinsin222
SabCbcAcaB===.
18、三角形内角和定理
在△ABC中,有(ABCCABππ++=⇔=-+
222
CABπ+⇔
=-222(CABπ⇔=-+.19、与的数量积(或内积
θcos||||⋅=⋅
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20、平面向量的坐标运算
(1设A11(,xy,B22(,xy,则2121(,ABOBOAxxyy=-=--
.
(2设=11(,xy,=22(,xy,则⋅=2121yyxx+.(3设=,(yx,则22yxa+=
21、两向量的夹角公式:.
设a=11(,xy,b=22(,xy,且0≠b,则
cos||||
ab
abθ⋅==
⋅(a
=11(,xy,b=22(,xy.
22、向量的平行与垂直
设a
=11(,xy,b=22(,xy,且b≠0
//⇔λ=12210xyxy⇔-=.
0(≠⊥aba⇔0=⋅12120xxyy⇔+=.
*平面向量的坐标运算
(1设a=11(,xy,b=22(,xy,则a+b
=1212(,xxyy++.
(2设a=11(,xy,b=22(,xy,则a-b
=1212(,xxyy--.
(3设A11(,xy,B22(,xy,则2121(,ABOBOAxxyy=-=--
.:.
(4设a=(,,xyRλ∈,则λa
=(,xyλλ.
(5设a=11(,xy,b=22(,xy,则a·b
=1212xxyy+.三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系
11
,
1,2nnnsnassn-=⎧=⎨
-≥⎩(数列{}na的前n项的和为12nnsaaa=+++.24、等差数列的通项公式
*11(1(naanddnadnN=+-=+-∈;
25、等差数列其前n项和公式为
1(2nnnaas+=
1(12nnnad-=+211
(22
dnadn=+-.26、等比数列的通项公式
1*11(nn
naaaqqnNq
-==
⋅∈;27、等比数列前n项的和公式为:.
11(1,11,1nnaqqsqnaq⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11
,11,1nnaaq
qqsnaq-⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
四、不等式
28、xyy
x≥+2
。必须满足一正(yx,都是正数、二定(xy是定值或者yx+是定值、三相等
(yx=
时等号成立才可以使用该不等式
(1若积xy是定值p,则当yx=时和yx+有最小值p2;(2若和yx+是定值s,则
当yx=时积xy有最大值
24
、解析几何
29、直线的五种方程
(1点斜式11(yykxx-=-(直线l过点111(,Pxy,且斜率为k.(2斜截式ykxb
=+(b为直线l在y轴上的截距.
(3两点式
11
2121yyxxyyxx--=--(12yy≠(111(,Pxy、222(,Pxy(12xx≠.:.
(4截距式1xy
ab
+=(ab、分别为直线的横、纵截距,0ab≠、
(5一般式0AxByC++=(其中A、B不同时为0.
30、两条直线的平行和垂直
若111:lykxb=+,222:lykxb=+
①121212||,llkkbb⇔=≠;
②12121llkk⊥⇔=-.31、平面两点间的距离公式
,AB
d=A11(,xy,B22(,xy.
32、点到直线的距离
d=
(点00(,Pxy,直线l:0AxByC++=.
33、圆的三种方程
(1圆的标准方程2
2
2:.
((xaybr-+-=.
(2圆的一般方程22
0xyDxEyF++++=(2
2
4DEF+->0.
(3圆的参数方程cossinxarybrθ
θ
=+⎧⎨
=+⎩.
*点与圆的位置关系:点00(,Pxy与圆2
2
2
((rbyax=-+-的位置关系有三种
若d=
dr>⇔点P在圆外;dr=⇔点P在圆上;dr<⇔点P在圆内.
34、直线与圆的位置关系
直线0=++CByAx与圆2
22((rbyax=-+-的位置关系有三种::.
0<∆⇔⇔>相离rd;0=∆⇔⇔=相切rd;
0>∆⇔⇔<=222dr-
其中22B
AC
BbAad+++=.
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆:22221(0xyabab+=>>,2
22bca=-,
离心率cea==,参数方程是cossinxaybθθ
=⎧⎨=⎩.
双曲线:12222=-b
yax(a>0,b>0,2
22bac=-,离心率1>=ace,渐近线方程是xaby±=.
抛物线:pxy22=,焦点0,2
(
p
,准线2px-=。:.
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1若双曲线方程为12222=-b
yax⇒渐近线方程:22220xyab-=⇔xab
y±=.
(2若渐近线方程为xab
y±=⇔0=±byax⇒双曲线可设为λ=-2222b
yax.
(3若双曲线与12222=-byax有公共渐近线,可设为λ=-22
22b
yax(0>λ,焦点在x轴上,0<λ,
焦点在y轴上.
37、抛物线pxy22=的焦半径公式
抛物线22(0ypxp=>焦半径2
||0p
xPF+
=.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。38、过抛物线焦点的弦长
pxxp
xpxAB++=+++=21212
:.
六、立体几何
(1转化为判定共面二直线无交点;(2转
化为二直线同与第三条直线平行;(3转化为线面平行;(4转化为线面垂直;(5转化为
(1转化为直线与平面无公共点;(2
转化为线线平行;((1转化
为判定二平面无公共点;(2转化为线面平行;(3转化为线面垂直.
(1转化为相交垂直;(2转化为线面垂直;
(3转化为线与另一线的射影垂直;(
与平面垂直的思考途径(1转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2转化为该直线与
平面内相交二直线垂直;(3转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4转化为该直线
垂直于另一个平行平面。
(1转化为判断二面角是直二面角;(2转化为线面垂直;45、柱体、椎体、球体
的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=rlπ2,表面积=222rrl
ππ+
圆椎侧面积=rlπ,表面积=2
rrlππ+
1
3VSh=柱体(S是柱体的底面积、h是柱体的高.
1
3
VSh=锥体(S是锥体的底面积、h是锥体的高.
球的半径是R,则其体积343:.
VRπ=,其表面积2
4SRπ=.
46、若点A111(,,xyz,点B222(,,xyz,则,ABd
=||AB=
=47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数:n
xxxxn++=
21方差:](([(12
22212xxxxxxnsn-+-+-=
标准差:](([(1
22221xxxxxxn
sn-+-+-=
50、回归直线方程(了解即可
yabx=+,其中(((1122211nn:.
iiiiiinn
ii
iixyxynxybxxa====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑.经过(,
点。
51、独立性检验
(((((22
dbcadcbabdacnK++++-=(了解即可
52、古典概型的计算(必须要用列举法...、列表法...、树状图...的方法把所
有基本事件表示出来,不重复、不遗漏
八、复数
53、复数的除法运算
2
2((((((d
ci
adbcbdacdicdicdicbiadicbia+-++=-+-+=++.54、复数zabi=+的模||z
=||abi+:.
55、复数的相等:,abicdiacbd+=+⇔==.(,,,abcdR∈56、复数zabi=+的
模(或绝对值||z=||abi+
57、复数的四则运算法则
(1((((abicdiacbdi+++=+++;(2((((abicdiacbdi+-+=-+-;(3((((abic
diacbdbcadi++=-++;(42222
(((0acbdbcad
abicdiicdicdcd
+-+÷+=
++≠++.58、复数的乘法的运算律
对于任何123,,zzzC∈,有
交换律:1221zzzz⋅=⋅.
结合律:123123((zzzzzz⋅⋅=⋅⋅.分配律:1231213(zzzzzzz⋅+=⋅+⋅.
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
55、⎩⎨⎧==yxθρθρsincos⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=
0(tan2
22xxy
yxθρ十、命题、充要条件:.
充要条件(记p表示条件,q表示结论
原命题若p则q否命题若┐p则┐q
逆命题若q则p
逆否命题若┐q则┐p
互逆否互
逆否否
互(1充分条件:若pq⇒,则p是q充分条件.
(2必要条件:若qp⇒,则p是q必要条件.
(3充要条件:若pq⇒,且qp⇒,则p是q充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

十一、直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系三个公理::.
(1公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(2公
理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(3公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点
的公共直线。空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关
系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的
两条直线互相平行。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简
便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈;
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作
a⊥b;④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。空间
中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:
(1直线在平面内——有无数个公共点
(2直线与平面相交——有且只有一个公共点(3直线在平面平行——没有公
共点
直线、平面平行的判定及其性质
共面直线:.
(0,2π
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则
这两个平面平行。2、判断两平面平行的方法有三种:(1用定义;(2判定定理;
(3垂直于同一条直线的两个平面平行。直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线
与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。直线、
平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平
面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直。平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭:.
β
B
2α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平
面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂
直。