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全国初中数学竞赛试题
一、选择题〔共5小题,每题7分,共35分〕
〔第1题图〕
,b,c在数轴上的位置如下图,那么代数式可以化简为〔〕.
〔A〕2c-a〔B〕2a-2b〔C〕-a〔D〕a
=ax〔a≠0〕与反比例函数y=〔b≠0〕的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为〔-3,-2〕,那么另一个交点的坐标为〔〕.
〔A〕〔2,3〕〔B〕〔3,-2〕〔C〕〔-2,3〕〔D〕〔3,2〕
,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是〔〕.
〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕
:“你假设给我2元,我的钱数将是你的n倍〞;小玲对小倩说:“你假设给我n元,我的钱数将是你的2倍〞,其中n为正整数,那么n的可能值的个数是〔〕.
〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4
,2,3,4,5,,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,那么中最大的是〔〕.
〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕
二、填空题〔共5小题,每题7分,共35分〕
,规定:程序运行从“输入一个值x〞到“结果是否>487?〞,那么x的取值范围是.
〔第6题图〕
〔第7题图〕
,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,那么△DMN的面积是.
+kx+k2-3k+=0的两个实数根分别为,,那么的值为.
,比赛为单循环,:每场比赛胜者得3分,负者得0分;,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,那么m的值为.
,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD=,CD,⊥EC,=AO,BC=6,那么CF的长为.
〔第10题图〕
三、解答题〔共4题,每题20分,共80分〕
,当时,恒有;.
,⊙O的直径为,⊙O1过点,且与⊙⊙O上的点,与⊙O1交于点,,且,BE的延长线与⊙O1交于点,求证:△BOC∽△.
〔第12题图〕
,b满足:a-b是素数,≥2023时,求a的最小值.
,使得存在正整数,满足,且.
中国教育学会中学数学教学专业委员会2023年
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知
,且,
所以.
解:由题设知,,,所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为〔3,2〕.
注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为〔3,2〕.
解:由题设知,,所以这四个数据的平均数为
,
中位数为,
于是.
解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,
消去x得(2y-7)n=y+4,
2n=.
因为为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.
解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以
,因此最大.
二、填空题
<x≤19
解:前四次操作的结果分别为
3x-2,3(3x-2)-2=9x-8,3(9x-8)-2=27x-26,3(27x-26)-2=81x-80.
由得27x-26≤487,
81x-80>487.
解得7<x≤19.
容易验证,当7<x≤19时,≤487≤487,故x的取值范围是
7<x≤19.
解:连接DF,△∽△,所以
,
由此得,所以.
在Rt△ABF中,因为,所以
〔第7题〕
,
于是.
由题设可知△ADE≌△BAF,所以,
.
于是,
,
.
又,所以.
因为,所以.
8.
解:根据题意,关于x的方程有
=k2-4≥0,
由此得(k-3)2≤0.
又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=+3x+=0,解得x1=x2=.
故==.
解:设平局数为,胜〔负〕局数为,由题设知
,
由此得0≤b≤43.
又,
0≤≤43,
87≤≤130,
由此得,或.
当时,;当时,,
,不合题设.
故.
〔第10题〕
10.
解:如图,连接AC,BD,OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°.
依题设∠BFC=90°,四边形ABCD是⊙O
的内接四边形,所以
∠BCF=∠BAD,
所以Rt△BCF∽Rt△BAD,因此.
因为OD是⊙O的半径,AD=CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,
.
由△∽△,,
所以,BA=AD,故
.
三、解答题
:因为当时,恒有,所以
,
即,所以.………〔5分〕
当时,≤;当时,≤,即
≤,
且≤,
解得≤.………〔10分〕
设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得
.
因为,所以
,
解得,或.
因此.…………〔20分〕
:连接BD,因为为的直径,,所以△CBE是等腰三角形.
…………〔5分〕
〔第12题〕
设与交于点,连接OM,,所以
.
…………〔15分〕
又因为分别是等腰△,等腰△的顶角,所以
△BOC∽△.…………〔20分〕
:设a-b=m〔m是素数〕,ab=n2〔n是正整数〕.
因为(a+b)2-4ab=(a-b)2,
所以(2a-m)2-4n2=m2,
(2a-m+2n)(2a-m-2n)=m2.………〔5分〕
因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n(m为素数),所以
2a-m+2nm2,2a-m-2n1.
解得a,.
于是=a-m.…………〔10分〕
又a≥2023,即≥2023.
又因为m是素数,解得m≥,a≥=2025.
当时,,,.
因此,a的最小值为2025.…………〔20分〕
:由于都是正整数,且,所以
≥1,≥2,…,≥2023.
于是≤.…………〔10分〕
当时,令,那么
.…………〔15分〕
当时,其中≤≤,令
,那么
.
综上,满足条件的所有正整数n为.…………〔20分〕