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汇总
实数的齐备有序域
实数会合往常被描绘为齐备的有序域,这能够几种解说。
第一,有序域能够是齐备格。但是,很简单发现没有有序域会是齐备格。这是因为有序域没有最大元素(对随意元素,将更大)。因此,这里的齐备不是齐备格的意思。
此外,有序域知足戴德金齐备性,这在上述公义中已经定义。上述的独一性也说了然这里的齐备是指戴德金齐备性的意思。这个齐备性的意思特别靠近采纳戴德金切割来结构实数的方法,即从(有理数)有序域出发,经过标准的方法成立戴德金齐备性。
这两个齐备性的观点都忽视了域的结构。但是,有序群(域是种特别的群)能够定义一致空间,而一致空间又有齐备空间的观点。上述齐备性中所述的不过一个特例。(这里采纳一致空间中的齐备性观点,而不是有关的人们熟知的胸怀
空间的齐备性,这是因为胸怀空间的定义依靠于实数的性质。)自然,其实不是独一的一致齐备的有序域,但它是独一的一致齐备的阿基米德域。实质上,齐备的阿基米德域比齐备的有序域更常有。能够证明,随意一致齐备的阿基米德域必定是戴德金齐备的(自然反之亦然)。这个齐备性的意思特别靠近采纳柯西序列来结构实数的方法,即从(有理数)阿基米德域出发,经过标准的方法成立一致齐备性。
齐备的阿基米德域最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不一样于上述的意思。他以为,实数组成了最大的阿基米德域,即全部其余的阿基米德域都是的子域。这样是齐备的是指,在此中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。
这个齐备性的意思特别靠近用超实数来结构实数的方法,即从某个包括全部(超实数)有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域。
实数的基本定理
实数系的基本定理也称实数系的齐备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单一有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,它们相互等价,以不一样的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学剖析中一些理论问题的重要工具,在微
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积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的互相等价不可以说明它们都成立,只好说明它们同时成立或同时不可立,这就需要有更基本的定理来证明此中之一成立,进而说明它们同时都成立,引进方式主假如认可戴德金公义,而后证明这7个基本定理与之等价,以此为出发点开始成立微积分学的一系列观点和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现,但这7个定理是教课中常有的基本定理。
一、上(下)确界原理
非空有上(下)界数集必有上(下)确界。
二、单一有界定理
单一有界数列必有极限。详细来说:
单一增(减)有上(下)界数列必收敛。
三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理)
关于任何闭区间套,必存在属于全部闭区间的公共点。若区间长度趋于零,则该点是独一公共点。
四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理,海涅-波雷尔定理)
闭区间上的随意开覆盖,必有有限子覆盖。或许说:闭区间上的随意一个开覆盖,必可从中拿出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)
有界无穷点集必有聚点。或许说:每个无量有界集起码有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理)
有界数列必有收敛子列。
七、齐备性(柯西收敛准则)
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或许说:柯西列必收敛,收敛数列必为柯西列。
注:只有充要条件的命题才能称之为准则,不然不可以称为准则。
以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不一样形式刻画了实数的连续性,它们相互等价。在证明中,可采纳单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明能够参看《数学剖析札记》。
在闭区间上连续函数的性质的证明中,实数系的基本定理是特别重要的工
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具,可是它们之间的等价性不可以说明它们都成立,一定要有更基本的定理来证明此中之一成立,进而以上的命题都成立,进过频频认真思索,问题就归纳为实数
的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中,能够用实数的连续
性来推出确界定理,在华东师范大学数学系编的《数学剖析(上册)》(第四版)中就经过实数十进制小数形式推出确界定理,这也说了然成立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上,应当是先成立了实数,有了实数的定义以后,再得出实数
系的基本定理,进而能够在实数域上成立起严格的极限理论,最后获得严格的微积分理论,但数学历史的发展恰好相反,最初产生的是微积分理论,而严格的极限理论是在19世纪初才开始成立的,实数系的基本定理已经基本形成了以后,
世纪末实数理论才出生,这时剖析的算数化运动才大概达成。
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