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【编者按】三角形是最根本的几何图形,三角形中的数量关系是最根本的数量关系,有着极其广泛的应用。教材要求:通过对任意三角形边角(边长和角度)关系的探究,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些和测量和几何计算有关的实际问题。
一、正弦、余弦定理
1、直角三角形中各元素间的关系:
在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a.
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:A+B=90°;
(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)
sinA=cosB=;cosA=sinB=;;
2、斜三角形中各元素间的关系:
如右图,在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。
(1)三角形内角和:A+B+C=π.
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。
(R为外接圆半径,在同一个三角形中是恒量)
正弦定理的变形公式:
1);
2);
3);
4);
5)
(3)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边和它们夹角的余弦的积的两倍。
a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理的推论:
二、解三角形
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做
解三角形。广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线和内切圆半径、外接圆半径、面积等等。
解三角形的问题一般可分为下面两种情形:假设给出的三角形是直角三角形,那么称为解直角三角形;假设给出的三角形是斜三角形,那么称为解斜三角形.
解斜三角形的主要根据是:
设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C。
(1)角和角关系:A+B+C=π;
(2)边和边关系:a+b>c,b+c>a,c+a〉b,a-b〈c,b-c<a,c-a〉b;
(3)边和角关系:
正弦定理(R为外接圆半径);
余弦定理c2=a2+b2-2bccosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA;
它们的变形形式有:a=2RsinA,,等等.
解斜三角形的一般情形:
条件
定理应用
一般解法
一边和两角(如a、B、C,或a、A、B)
正弦定理
由A+B+C=180˙,求角
A,由正弦定理求出b和c,在有解时,有一解。
两边和夹角(如a、b、C)
余弦定理
由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。
三边(如a、b、c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C,在有解时只有一解。
两边和其中一边的对角(如a、b、A)
正弦定理(或余弦定理)
由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边,再求出其余两角B、C)
三、三角形的面积公式
下面式子中△代表三角形的面积。
(1)△=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);
(2)△=absinC=bcsinA=acsinB;
(3)△===;
(4)△=2R2sinAsinBsinC;(R为外接圆半径)
(5)△=;
(6)△=;(海伦定理,其中为三角形周长的一半);
(7)△=r·s(r为三角形内切圆的半径,三角形周长的一半)
四、三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述正弦、余弦定理公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
(1)角的变换
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;;
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。
面积公式:
其中r为三角形内切圆半径,s为周长的一半。
(3)在△ABC中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C成等差数列且a,b,c成等比数列.
(4)设、、是的角、、的对边,那么:①假设,那么;
②假设,那么;③假设,那么。
注意:1)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化;
2)三角形两边一对角,求解三角形时,假设运用正弦定理,那么务必注意可能有两解;
3)三角形内切圆的半径:,特别地,;
4)三角学中的射影定理:在△ABC中,,…
5)两内角和其正弦值:在△ABC中,,…
6)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解".
(参考教材:人教版必修5A版)