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六年级数学上册知识点总结
(一)长方体和正方体
长方体和正方体共同特征:6个面8个顶点,12条棱
长方体至少4面是长方形相对面完全相同相对的棱长度相等正方体是特殊的长方体
正方体6面都是正方形6个面完全相同12条棱长度都相等
长方体和正方体的表面积:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积。
计算公式:
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2或S表=(abacbc)2
正方体表面积=棱长×棱长×6或S=aa66a2
表
注:不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸(无盖)、无盖纸盒等等。
体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
长方体和正方体的体积(容积):
物体所占空间的大小叫做它们的体积,容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积。
计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高或Vabh
正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或Vaaaa3
长方体和正方体的体积=底面积×高或VS底×h
(二)分数乘法
分数与整数相乘及实际问题:
:
用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。
注:【任何整数都可以看作为分母是1的分数】
,可以用乘法计算。
,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个
数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘:
:用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
:通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。:.
倒数的认识:
。
(不为0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。【整数是分母为
1的分数】
,0没有倒数。
(或者说不大于1);真分数的倒数都大于1。
(三)分数除法
分数除法:
:甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
:可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】
,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
:已知一个数的几分之几是多少,求这个数?可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少
比的认识:
:比表示两个数相除的关系。
a
、除法的关系:a:bab(b0)
b
相互关系区别
比前项比号(:)后项比值关系
分数分子分数线(-)分母分数值数
除法被除数除号(÷)除数商运算
:比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
:比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了1以外没有其它
公因数。
:运用比的基本性质对比进行化简,方法:先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】
:将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。:.
(四)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是
大
1
杯的,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
3
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装
8个,大盒里装了多少个球?小盒呢?
分析:假设6个全是小盒球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8
个小盒:(80-8)÷6=12大盒:12+8=20检验
先假设再比较(与条件不符)进行调整得出结果检验
(五)分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:abba加法的结合律:(ab)ca(bc)
乘法的交换律:abba乘法的结合律:(ab)ca(bc)
乘法的分配律:(ab)cacbc
稍复杂的分数乘法实际问题:
(是/相当于)乙的几分之几
甲=乙×几分之几
乙=甲÷几分之几
几分之几=甲÷乙;
(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-总量×甲占的几分之几=总量×(1-甲占的几分之几)
(增加、上升、提高)几分之几
甲=乙×(1+几分之几)
乙=甲÷(1+几分之几)
几分之几=(甲-乙)÷乙;
(减少、下降、降低)几分之几
乙=甲×(1-几分之几):.
甲=乙÷(1-几分之几)
几分之几=(甲-乙)÷甲
(六)百分数
百分数的意义及读写:
:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
:百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:百分数后面不带单位名称!(常出现在判断题中)
百分数与小数、分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:(一个数÷另一个数)×100%
生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数
×100%
发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%
出油率=油的重量÷油料重量×100%命中率=命中次数÷总次数×100%
及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:利息=本金×利率×存期折扣问题:折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
、解题方法完全相同。
,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。:.
,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
【典型例题】
例1、(列方程解答和倍问题)一根绳子长48米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的
60%。甲、乙两绳各长多少米?
分析与解:乙绳长度是甲绳的60%,把甲绳长度看作单位“1”。
等量关系式:甲绳长度+乙绳长度=总长度
解答:设甲绳长x米,则乙绳长60%x米。
x+60%x=48
=48
x=30
60%x=30×60%=18
答:甲绳长30米,则乙绳长18米。
检验:30+18=48(米),符合甲、乙两绳共长48米。
18÷30=60%,符合乙绳长度是甲绳的60%。
例2、(列方程解答差倍问题)体育馆内排球的个数是篮球的75%,篮球比排球多6个。篮球和
排球各有多少个?
分析与解:排球的个数是篮球的75%,是把篮球个数看作单位“1”。
等量关系式:篮球–排球=6个:.
解答:设篮球有x个,则排球有75%x个。
x-75%x=6
=6
x=24
75%x=24×=18
答:篮球有24个,排球有18个。
你会自己检验吗?
检验:24-18=6(个),符合篮球比排球多6个。
18÷24=75%,符合排球的个数是篮球的75%。
点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位
“1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。
例3、六年级男生比女生少40人,六年级女生人数相当于男生人数的140%,六年级男生有多少
人?
错误解法:设:女生有x人,男生就有140%x人。
140%x-x=40
=40
x=100
140%x=100×=140
分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的140%”,可以把男生人数看作单位“1”的
量,设男生人数为x人,女生人数就是140%x人,再根据“六年级男生比女生少40人”,可以得出
数量关系式:“女生人数–男生人数=40”,根据此数量关系式列出方程。
正确解答:设男生有x人,女生就有140%x人。
140%x-x=40
=40
x=100
答:男生有100人。
点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率
(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。
例4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白
兔有36只,比灰兔少20%。灰兔有多少只?
分析与解:白兔比灰兔少20%,把灰兔看作单位“1”。:.
等量关系式:灰兔的只数–白兔比灰兔少的只数=白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
x-20%x=36
=36
x=45
答:灰兔有45只。
检验:45–45×20%=36或(45–36)÷45=20%,符合题意。
例5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白
兔有48只,比灰兔多20%。灰兔有有多少只?
分析与解:白兔比灰兔多20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:灰兔的只数+白兔比灰兔多的只数=白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
x+20%x=48
=48
x=40
答:灰兔有40只。
检验:40+40×20%=48或(48–40)÷40=20%,符合题意。
点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看
问题求什么,确定用什么方法计算。
例6、(难点突破)某商品如果按现价18元出售,则亏了25%,原来成本是多少元?如果想盈利
25%,应按多少元出售该商品?
分析与解:不管是亏25%,还是盈利25%,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商
品的成本。18元亏25%,说明18元比成本少25%,即是成本的(1-25%)。盈利25%,说明盈利
的是原来成本的25%,实际售价是原来成本的(1+25%)。
解答:设原来成本是x元。
x-25%x=18
=18
x=24:.
24×(1+25%)=30(元)
答:原来成本是24元,应按30元出售该商品。
点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的。解答这道题目的关键是确定
好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。
例7、(考点***)水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的22%,,
两次共运进这批水果的62%,这批水果一共有多少吨?
分析与解:根据题意可以画出下面的线段图:
从图中可以看出:两次一共运的吨数-第一次运的吨数=,单位“1”的量是这批水果的总
吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了62%x吨,第一次运进了22%x吨。
解:设这批水果一共有x吨。
62%x-22%x=
40%x=
x=
答:。
点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁,
找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。
②男生人数比女生人数多20%。
③女生人数比男生人数少25%。
④加工一批零件,已完成了80%。
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。
2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%
②一种彩电,现价比原价降低10%
③松树的棵数比柏树多:.
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%,求这个数。
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。
二、解决问题:
1、对比练****br/>(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如椅子单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树
各有多少棵?
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元?
5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长
多少米?
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这
条绳子长多少米?
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,,梨树有多少棵?
①200÷20%②200×20%③200÷(1+20%)④200÷(1-20%)⑤200×(1-20%)⑥200×(1+20%)
【试题答案】
一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。把女生人数看作单位“1”
②男生人数比女生人数多20%。把女生人数看作单位“1”
③女生人数比男生人数少25%。把男生人数看作单位“1”:.
④加工一批零件,已完成了80%。把一批零件看作单位“1”
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。把去年的猪肉单价看作单位“1”
2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%全长×60%=已修
②一种彩电,现价比原价降低10%原价×10%=降价
原价×(1-10%)=现价
③松树的棵数比柏树多柏树×=松树比柏树多的棵数
柏树×(1+)=松树
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%,求这个数。
75%x–30×25%=
x=12
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。
75%x–25%x=30
x=60
二、解决问题:
1、对比练****br/>(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
解:设五月份用煤x吨。
x–25%x=60
x=80
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
60+60×25%=75(吨)
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少
元?
解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是60%x元。
x–60%x=10
x=25
25×60%=15(元)或25–10=15(元)
答:课桌的单价是25元,椅子的单价是15元。:.
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树
各有多少棵?
解:设梨树的棵树是x棵,苹果树的棵树是20%x棵。
x+20%x=360
x=300
300×20%=60(棵)或360–300=60(棵)
答:梨树的棵树是300棵,苹果树的棵树是60棵。
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元?
解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是30%x元。
x+30%x=78
x=60
60×30%=18(元)或78–60=18(元)
答:课桌的单价是60元,椅子的单价是18元。
5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长
多少米?
解:设这条绳子共长x米。
25%x+35%x=6
x=10
答:这条绳子共长10米。
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这
条绳子长多少米?
解:设这条绳子共长x米。
35%x-25%x=1
x=10
答:这条绳子共长10米。
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?25÷20=125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?20÷25=80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?(25–20)÷20=25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?(25–20)÷25=20%
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,,梨树有多少棵?
1)200÷20%苹果树是梨树的20%200×20%梨树是苹果树的20%
2)200÷(1+20%)苹果树比梨树多20%200÷(1-20%)苹果树比梨树少20%
3)200×(1-20%)梨树比苹果树少20%200×(1+20%)梨树比苹果树多20%