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旋转知识点归纳
知识点1:旋转的定义及其有关概念
O
B
A
图1
在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,定点O称为旋转中心,转动的角称为旋转角;假如图形上的点P经过旋转到点,,线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转,点O就是旋转中心,都是旋转角.
说明:旋转的范围是在平面内旋转,否那么有可能旋转为立体图形,因此“在平面内〞:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.
知识点2:旋转的性质
由旋转的定义可知,旋转不改变图形的大小和形态,:
⑴经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿一样方向转动了一样的角度,对应点的排列次序一样.
⑵随意一对对应点及旋转中心的连线所成的角都是旋转角.
⑶对应点到旋转中心的距离相等.
⑷对应线段相等,对应角相等.
图2
例1,如图2,D是等腰Rt△ABC内一点,BC是斜边,假如将△ADB绕点逆时针方向旋转到△
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的位置,那么的度数是〔 〕D
.
分析:△是由△ADB旋转所得,可知△ADB≌△,∴AD=,∠DAB=∠,∵∠DAB+∠DAC=, ∴∠+∠DAC=,∴∠,应选D.
评注:旋转不改变图形的大小及形态,旋转前后的两个图形是全等的,紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系,是解决及旋转有关问题的关键.
知识点3:旋转作图
:(1)旋转中心;(2)旋转方向及旋转角.
:(1)旋转的定义:在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿一样的方向转动了一样的角度,随意一对对应点及旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
:(1)分析题目要求,找出旋转中心,旋转角;〔2〕分析图形,找出构成图形的关键点;〔3〕沿肯定的方向,按肯定的角度,通过截取线段的方法,找出各个关键点;〔4〕连接作出的各个关键点,并标上字母;〔5〕写出结论.
例2如图3,小明将△ABC绕O点旋转得到△,其中点分别是A,B,C△ABC的边AC,BC及旋转中心O擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O及△ABC的位置找到,你认为可以吗
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假设可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.
分析:“对应点到旋转中心的距离相等〞这一特征,可推断出旋转中心是对应点连线〔和〕,从而△ABC的位置也就可以确定了.
解:连接,,分别作,的垂直平分线,相交于O点,那么O关于点的对应点,连接,.
评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.
图4
C
B
A
O
图3
考点4:钟表的旋转问题
钟表的时针及分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,那么每小时旋转这样时针每分钟旋转分针每小时旋转一周,那么每分钟旋转
例3从1点到1点25分,分针转了多少度角时针转了多少度角1点25分时时针及分针的夹角是多少度
分析:从1点到1点25分,分针及时针都转了25分钟,所以分针旋转的角度为
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时针旋转的角度为1点整的时候,分针及时针的夹角为,分针及时针分别同时旋转及后,分针及时针的夹角为
解:分针旋转的角度为时针旋转的角度为
分针及时针的夹角为
评注:(1)时针每分钟旋转;(2)分针每分钟旋转这两个条件是旋转问题中的隐含条件,也是解决此类问题的突破口
解读生活中的旋转
旋转及其根本性质
在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;
对应点及旋转中心的连线所成的角彼此相等.
图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度,图形在旋转过程中,,但线段的长度不变,对应点到旋转中心的距离不变,每对对应点及旋转中心连线所成的角都相等.
总结:旋转过程中,每一个点都绕旋转中心沿一样的方向旋转了一样的角度,随意一对对应点及旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
旋转前后两个图形的比拟
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图形是由点组成的,图形中的主要元素有线段和角,也有一些其他可度量的元素,:
旋转前后两个图形的形态和大小没有发生改变,位置发生了改变;
对应线段相等,对应角相等;
每对对应点及旋转中心连线所成的角都是相等的,它们都是旋转角.
旋转作图
:图形上的每一点都绕旋转中心沿一样方向转动了一样的角度,对应点到旋转中心的距离相等.
图形原来所在的位置;(2)旋转中心;(3)图形旋转的方向;(4)图形的旋转角度.
:
分析题目的要求,找出旋转中心,旋转角;
分析所作的图形,找出构造图形的关键点;
沿肯定的方向,按肯定的角度,通过攫取线段的方法,旋转各个关键点。
①连:即连图形中的每一个关键点及旋转中心;
②转:即把连线按要求绕旋转中心转过肯定角度;
③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;为了防止作图时的混乱,每个点独立完成后,再进展下一个点的旋转;
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(4)连接所作的各个关键点,并标上相应的字母;
(5)写出结论〔方格纸内作图可以略写结论〕.
(1)原图,旋转中心和一对对应点,求作旋转后的图形;
(2)原图,旋转中心和一对对应线段,求作旋转后的图形;
(3)原图,旋转中心和旋转角,求作旋转后的图形.
例1如图1,是等腰内一点,是斜边,假如将绕点逆时针方向旋转到的位置,那么的度数是〔D 〕
图1
.
.
解析:依据旋转性质可知△ABD≌△,
∴∠BAD=∠,AD=,
∵∠BAD+∠CAD=,
∴∠+∠CAD=,
∴=,故应选D.
图2
评注:此题应用旋转性质得到两三角形全等,然后依据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可.
例2如图2,该图形围绕自己的旋转中心,按以下角度旋转后,不能及其自身重合的是〔 〕
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.
解析:整个图形可以看作是图形的五分之一绕中心位置,依据同一方向连续旋转
,,,,和原来图形共同组成的,所以此题应选B。
评注:解决此题的关键是通过动手操作和动脑分析,找到“根本图案〞,并分析得到旋转角,对此题来说,只要找到了“根本图案〞,全部的旋转角肯定都是的倍数.
例3在如图3的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,的三个顶点都在格点上〔每个小方格的顶点叫格点〕.
〔1〕画出向平移4个单位后的;
图4
图3
〔2〕画出绕点顺时针旋转后的,并求点旋转到所经过的路线长.
分析:在作图的时候要找到关键点的位置,此题有两步作图,第一步是平移,第二步是旋转,依据平移和旋转的作图步骤简单得到最终的图形.
点旋转到所经过的路线长为以为半径,圆心角为的弧长.
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解:〔1〕画出.〔2〕画出△.
连结,,.
点A旋转到所经过的路线长为
评注:在方格纸上作简单的旋转图形,旋转角度通常是,这样旋转前后图形的对应点及旋转中心的连线相互垂直,事实上就是在方格纸上找垂线,再依据旋转的性质找线段相等,从而确定每个对应点.
学好旋转的三个要点
,学好旋转的知识有利于我们解决实际问题,学****时应留意把握好以下几点:
一,正确理解旋转的概念
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,.
A
C
D
B
E
P
图1
理解这个概念应留意以下两点:
,是图形的一种根本变换;
.
例 如图1,是等腰直角三角形,,是上一点,经过旋转后到达的位置.
〔1〕旋转中心是哪一点?
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〔2〕旋转了多少度?
〔3〕假设是的中点,那么经过上述旋转后,点旋转到了什么位置?
解:〔1〕点是旋转中心;
〔2〕顺时针旋转了;
〔3〕点旋转到了的中点.
二,驾驭旋转的特征
图形中每一点都围着旋转中心旋转了同样大小的角度;对应点到旋转中心的距离相等,对应线段,对应角都相等;旋转前后图形的大小,形态都不发生变化.
图2
例2 如图2所示,是国际奥林匹克运动会会旗〔五环旗〕的标记图案,它是由五个半径一样的圆组成的,它象征着五大洲的体育健儿,为开展奥林匹克精神而团结起来,,结合我们所学****的图形变换知识,完成以下题目:
〔1〕整个图案可以看做是什么图形?
〔2〕此图案可以看做是把一个圆经过屡次什么变换运动得到的?
解:〔1〕这个图案是轴对称图形.
〔2〕既可以看做是由一个圆经过4次平移得到的,又可以看做是一个圆经过4次旋转得到的〔你能分析吗,提示:旋转中心可以不在图案上〕.
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三,会找寻旋转中心
知道了旋转中心及旋转角,,如何确定旋转中心呢?
确定旋转中心的关键是确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心,由旋转特征可知,这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心.
由旋转特征可知,假如图形上点关于旋转中心的对应点是,那么有,所以点必在线段的垂直平分线上;假如图形上点关于旋转中心的对应点是,那么,.
例3 如图3所示,四边形绕某点旋转后到四边形,你能确定旋转中心吗试一试.
分析:,由于对应点到旋转中心的距离相等,那么有,从而肯定是线段和线段的垂直平分线的交点上.
解:如图3所示,连结.
图1
图4
分别作的垂直平分线,.
例2 如图4,是等边三角形,点分别是的中点,四边形和四边形都是正方形.