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知识点1有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多
(相似系数).
知识点2比例线段的相关概念、比例的性质
(1)定义:在四条线段中,如果的比等于的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
注:①比例线段是有顺序的,如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:.
②核心内容:
(2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使是的比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,其中≈:
注:①黄金三角形:顶角是360的等腰三角形
②黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形
(3)合、分比性质:.
注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间
:等等.
等比性质:如果,
那么.
知识点3比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
特别在三角形中:
由DE∥BC可得:
知识点4相似三角形的概念
(1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,“∽”表示,读作“相似于”.相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例.
注:①对应性:即把表示对应顶点的字母写在对应位置上
②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.
④全等三角形是相似比为1的相似三角形.
(2)三角形相似的判定方法
1、平行法:(图上)平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1:简述为:两角对应相等,
3、判定定理2:简述为:两边对应成比例且夹角相等,
4、判定定理3:简述为:三边对应成比例,
5、判定定理4:直角三角形中,“HL”
全等与相似的比较:
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)、(HL)
两角对应相等
两边对应成比例,且夹角相等
三边对应成比例
“HL”
(3)射影定理:
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,
则∽==>AD2=BD·DC,
∽==>AB2=BD·BC,
∽==>AC2=CD·BC.
知识点5相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形周长的比等于相似比.
(3)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
知识点6相似三角形的几种基本图形:
如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)
(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。(有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、“蝶型”)
(3)一线三等角的变形:
知识点7等积式证明题常用方法归纳:
(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”
(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的,则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.
即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。
(4)添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
比例.
注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。
知识点8相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比.
(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比.
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.
注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键.
知识点9位似图形有关的概念与性质
(1)位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.
(2)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
(3)位似图形的对应边互相平行或共线.
(4)位似图形具有相似图形的所有性质.
位似图形的性质:
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.(若位似中心不是原点,则向坐标轴作垂直构造直角三角形,利用相似解决或是先平移到原点,求出对应点的坐标再平移回去)
知识点一:平行线成比例定理
典型例题
例1、如图,平行四边形中
,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O,E是CD的中点,AE交BD于F,则DF:FO=_____。
跟踪练****1:如图,平行四边形ABCD中,O1、O2、O3为对角线BD上三点,且BO1=O1O2=O2O3=O3D,连结AO1并延长交BC于点E,连结EO3并延长交AD于F,则AD:FD等于()。
A、19:2;B、9:1;C、8:1;D、7:1
2、如图,在平行四边形ABCD中R在BC的延长线上,AR交BD于P,交CD于Q,若DQ∶CQ=4:3,则AP∶PR=
3、(2015•湖南株洲,第7题3分)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是 ()
A. B. C. D.
4、(2015•甘肃武威,第9题3分)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为()
A. B. C. D.
5、(2015•四川乐山,第5题3分)如图,∥∥,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、,则的值为()
.
知识点二、相似三角形的判定
典型例题
例1、如图,CD是Rt△ABC斜边上的中线,过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F,交AC的延长线于点E,求证:
例2、在⊿ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,CE∥AB,求证
例3、如图,在⊿ABC中,AD是角平分线,E是AD上的一点,且CE=CD,求证:
A
B
C
D
E
例4、已知,如图,在△ABC中,∠C=600,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,试说明△CDE∽△CBA。
课后自我练****br/>,在△ABC中,AD为中线,CF为任意直线且交AD于点E,交AB于点F,
求证:=
,已知,试说明:AB·EC=AC·BD。
△ABC中,M是AC边的中点,且AE=BA,连接EM,并延长交BC的延长线于D,
求证:BC=2CD
A
B
C
F
G
E
D
,如图,F为ABCD边DC延长线上一点,连结AF,交BC于G,交BD于E,试说明AE2=EG·EF
5、已知:在△ABC中,∠BAC=900AD⊥BC于D,P为AD中点,BP延长线交AC于E,EF⊥BC于F,求证:EF2=AE·AC