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一、比例的性质
合比性质:
(比例基本定理)
二、相似三角形:
:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
:用符号“∽”表示,读作“相似于”。
:相似三角形的对应边的比叫做相似比。
:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。
:
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相似三角形的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
:
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
:
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2
相似练习
选择题
,DE∥BC,AD:DB=2:1,那么△ADE与△ABC的相似比为()

,AB∥CD,AD与BC相交于点O,那么在下列比例式中,正确的是()
.
,不正确的是()
△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,在Rt△A′B′C′中,∠C′=90°,∠A′=20°,则△ABC∽△A′B′C′
B.△ABC的两个角分别是35°和100°,△A′B′C′的两个角分别是45°和35°,则这两个三角形相似
△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为90°,则△ABC与△A′B′C′相似
△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为105°,则△ABC与△A′B′C′相似
,AB∥CD,AD与BC相交于点P,AB=3,CD=6,AP=4,则DP的长为()

,AB∥CD∥EF,则图中相似的三角形共有()

,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A. B.
C. D.
,在直角坐标系中,有两点A(6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()
A.(2,1) B.(2,0)
C.(3,3) D.(3,1)
,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为( )

A. B. C. D.
二、填空题
,△ADE∽△ABC,则AD:DB=__________.
△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,则在如图所示的三角形中,与△ABC相似的是_______.
,D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点,请你添加一个条件,使△ADE与△.
,DE∥BC,若AD=3,BD==6,则AC=__________.
(),且,那么=_
□ABCD中,M,N是AD边上的三等分点,连接BD,MC相交于O点,则S△MOD:S△COB=.
三、解答题
,D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点,若∠A=38°,∠C=82°,∠1=60°,则成立吗?为什么?
,将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形,使得每个小三角形与原三角形都相似(要求画出分割线段,标出能够说明分法的必要记号,不要求写出画法,不要求说明理由).
A
B
C
D
E
F
,在△ABC中,DE∥BC, EF∥AB,说明:△ADE∽△EFC.
:。求证:。
,已知:AB//CD,AC、BD交于点O,OE//AB交BC于点E。求证:。
,已知:D是△ABC的边BC上一点,过D点的直线交AC于Q,交AB延长线于P,AE//BC,交PQ于E,PD:PE=DQ:QE。求证:(1)D是BC的中点;(2)QA·PB=PA·QC。(本题12分)
,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
A
A
B
B
E
E
C
D
C
D
F
F
G
G
第23题图1
第23题图2
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值.