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一、高斯公式
二、通量与散度

二、对坐标的曲面积分第二类曲面积分
三、两种曲线积分的关系
复****br/>
一、高斯公式
定理设空间闭区域
由分片光滑的闭曲面
所围成,函数
在
上具有一阶连续偏导,则有
或
其中
是取外侧,
处法向量的
方向余弦.
x
y
z
o
设
所以
类似可证其它两式.
证明
Z轴的直线与
的边界曲面
的交点恰好是两个.
并设穿过
内部平行于
在
面上投影区域为
设
例1计算
其中
为曲
面
所围区域的整个边界曲面的外侧.
x
y
z
o
由高斯公式得
解
解
由高斯公式
x
y
z
例2计算
是平面z=0,z=3
及柱面
的整个边界曲面的外侧.
所围区域
例3
其中
是上半球面
的下侧.
x
y
z
解
添加曲面
取上侧.
解
添加辅助面
取上侧.

,其中
为锥面
的下侧,
是
在点
处法向量的方向余弦.
x
y
z
o
二、通量与散度
设某向量场由
给出,
是
上点
处的单位法向量,
即
是场内一片有向曲面,
具有一阶连续偏导,
其中
叫做向量场
通过曲面
向着指定侧的通量或流量
则
称
为向量场
的散度.
记作
即
高斯公式可写成

穿过曲面
流向指定侧的流量.
其中
流向外侧.
是以点
为球心,半径
的球面,
解
例6求向量场
的散度.
解
流过圆柱面
例7已知流体的速度场为
,试求单位时间内
介于平面
之间部分的外侧的
流量(流体的密度为1)。
解
添加辅助面
取上侧.
取下侧.
x
y
z