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第一部分等差数列
一定义式:
二通项公式:
一个数列是等差数列的等价条件:(a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三前n项和公式:
一个数列是等差数列的另一个充要条件:(a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四性质结论
,
如:3个数a-d,a,a+d;4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
;
在等差数列中,若,则
;若,则;
,则
;
若等差数列的项数为,则,且,
。设,,
,则有;
5.,,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇
数)最大
第二部分等比数列
一定义:成等比数列。
二通项公式:,
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:
当且时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三前n项和:;
(注意对公比的讨论)
四性质结论:
(同号);
,若,则;
若,则;
,,
,则有
第三部分求杂数列通项公式
:递推式不能构造等比时,构造等差数列。
第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,
例如:,
两边取倒数是公差为2的等差数列,从而求出。
第二类:
是公差为1的等差数列
二。递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。
例如
【注:】
求通项公式的题,不能够利用构造等比或者构造等差求的时候,一般通过递推来求。
第四部分求前n项和
一裂项相消法:
、
二错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
求:
①
②
①减②得:
从而求出。
错位相减法的步骤:
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式
(3)用①②,错位相减
(4)化简计算
三倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法
例:等差数列求和:
两式相加可得: