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(1)基本不等式成立的条件:
(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.
[探究] “当且仅当”的含义?
提示:①当时,取等号,即
②仅当时,取等号,即
设则的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数.
已知则
(1)如果积是定值那么当且仅当时,有最小值是(简记:积定和最小).
(2)如果和是定值,那么当且仅当时,有最大值是(简记:和定积最大).
[探究] (小)值时,等号取不到时,如何处理?
提示:当等号取不到时,,在时的最小值,利用单调性,易知时
[自测·牛刀小试]
( )
解析:选A 因为m>0,n>0,所以m+n≥2=2=18.
,则( )
+ +
( )
.
,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点,则线段长的最小值是________.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知求证:
保持例题条件不变,证明:+≤2.
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利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
:
利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2012·浙江高考)若满足则的最小值是( )
A.
(2)已知则的最大值为________.
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应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
1.(1)函数的图象过定点若点在直线上,求的最小值;
(2)若正数满足求的取值范围.
利用基本不等式解决实际问题
[例3] 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2014年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数).如果不搞促销活动,,每生产1万件该产品需要再投入12万元,(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家2014年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
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解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值;
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求.
(4)有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关系式,这时问题就变成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.
,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最高为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,,,投入万元作为固定宣传费用,:当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
1个技巧——公式的逆用
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如逆用就是逆用就是等,还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
2个变形——基本不等式的变形
3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.
(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用
、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.
,同时要注意基本不等式的使用条件.
[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线和与函数的图象从左至右相交于点、,与函数的图象从左至右相交于点、,记线段和在x轴上的投影长度分别为当变化时,的最小值为( )
. D.
(1)本题是对数函数的图象问题,通过分析、转化为基本不等式求最值问题.
(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合,考查了考生分析问题、解决问题的能力.
(1)正确求出、、、四点的坐标;
(2)正确理解的几何意义,并能正确用、、、的坐标表示;
(3)能用拼凑法将化成利用基本不等式求最值的形式.
,则的最小值是( )
,则的最小值为( )
.+ D.+2
,则的最小值是________.
练****br/>一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )
.
.
2.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为和(),其全程的平均时速为则( )
A. B.
C. D.
( )
A.
4.(2013·淮北模拟)函数的最小值是( )
+-
,则实数的最小值等于( )
.-4 D.-2
6.(2013·温州模拟)已知是内的一点,且·=2,若和的面积分别为则的最小值是( )
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
,每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用和分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里处.
(写出所有正确命题的编号).
① ② ③ ④⑤
9.(2013·泰州模拟)已知则的最小值是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)
:
,大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/:当20≤≤200时,车流速度是车流密度的一次函数.
(1)当0≤≤200时,求函数的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
.
,求证:
.
,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分),人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比=求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
[归纳·知识整合]
(1)归纳推理:
①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.
②特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理.
(2)类比推理
①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.
②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理.
[探究] ?
提示:不一定,结论是否真实,还需要经过严格的逻辑证明和实践检验.
(1)模式:三段论
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.
[探究] ?
提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的结论.
[自测·牛刀小试]
( )
①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°.
A.①② B.①③
C.①②④ D.②④
:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52013的末四位数字为( )
3.(教材****题改编)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为( )
归纳推理
[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式:则( )
(2)设先分别求然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
利用本例(2)的结论计算的值.
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.
:
可以推测:13+23+33+…+=________(∈N*,用含n的代数式表示).
类比推理
[例2] (2013·广州模拟)已知数列为等差数列,若则类比等差数列的上述结论,对于等比数列若则可以得到
________.
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类比推理的分类
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解;
(2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;
(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.
,于,求证:
演绎推理
[例3] 已知函数
(1)证明:函数的图象关于点对称;
(2)求的值.
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演绎推理的结构特点