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例1已知椭圆的一个焦点为(0,2)求的值.
解:,所以,解得.
又,所以,.
例2已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,,运用待定系数法,
求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,代入得,,故椭圆的方程为.
当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,联立解得,,故椭圆的方程为.
例3的底边,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.
分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解.
(2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程.
解:(1)以所在的直线为轴,,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,,,有,
故其方程为.
(2)设,,则.①
由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点).
例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为、,且,..
从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,,
可求出,,从而.
∴所求椭圆方程为或.
例5已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,,.求:的面积(用、
表示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用求面积.
解:如图,设,由椭圆的对称性,不妨设,由椭圆的对称性,:·.①
由椭圆定义知:②,则得.
故.
例6已知椭圆
(1)求过点且被平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
解:设弦两端点分别为,,线段的中点,则
①-②得.
由题意知,则上式两端同除以,有,
将③④代入得.⑤
(1)将,代入⑤,得,故所求直线方程为:.⑥
将⑥代入椭圆方程得,符合题意,为所求.
(2)将代入⑤得所求轨迹方程为:.(椭圆内部分)
(3)将代入⑤得所求轨迹方程为:.(椭圆内部分)
例7已知椭圆及直线.
(1)当为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程.
解:(1)把直线方程代入椭圆方程得,
即.,解得.
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为,,由(1)得,.
根据弦长公式得:..
.
例8 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过和两点的椭圆方程
分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
可设其方程为(,),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.
解:设所求椭圆方程为(,).由和两点在椭圆上可得
即所以,.故所求的椭圆方程为.
例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在轴上的椭圆,过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于,两点,求弦的长.
分析:可以利用弦长公式求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
.因为,,,
所以椭圆方程为,左焦点,从而直线方程为.
由直线方程与椭圆方程联立得:.设,为方程两根,所以,,,从而
.
(法2)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根,,它们分别是,的横坐标.
再根据焦半径,,从而求出.
例10已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上有不同的两点关于该直线对称.
分析:若设椭圆上,两点关于直线对称,则已知条件等价于:(1)直线;(2)弦的中点在上.
利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围.
解:(法1)设椭圆上,两点关于直线对称,直线与交于点.
∵的斜率,∴
①。
∴.于是,,
即点的坐标为.
∵点在直线上,∴.解得. ②
将式②代入式①得 ③
∵,是椭圆上的两点,∴.解得
.
(法2)同解法1得出,∴,
,即点坐标为.
∵,为椭圆上的两点,∴点在椭圆的内部,∴.解得.
(法3)设,是椭圆上关于对称的两点,直线与的交点的坐标为.
∵,在椭圆上,∴,.两式相减得,
即.∴.
又∵直线,∴,∴,即 ①。
又点在直线上,∴ ②。由①,②.
说明:涉及椭圆上两点,关于直线恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:
(1)利用直线与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式,建立参数方程.
(2)利用弦的中点在椭圆内部,满足,将,利用参数表示,建立参数不等式.
例11已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,求直线的方程.
分析:(或),得到关于(或)的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出,(或,)的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的.
解:方法一:,整理得
①
设直线与椭圆的交点为,,则、是①的两根,∴
∵为中点,∴,.∴所求直线方程为.
方法二:设直线与椭圆交点,.∵为中点,∴,.
又∵,在椭圆上,∴,两式相减得,
即.∴.∴直线方程为.