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一、知识清单
(一)圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心:(a,b),半径:r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)
圆心:,
半径:
1、圆的标准方程与一般方程的互化
(1)将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(2)将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0通过配方后得到的方程为:
(x+)2+(y+)2=
①当D2+E2-4F>0时,该方程表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;
②当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);③当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
2、圆的一般方程的特征是:x2和y2项的系数都为1,没有xy的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(二)点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(三)温馨提示
1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:
(1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0.
2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算.
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x=,y=.
二、典例归纳
考点一:有关圆的标准方程的求法
【例1】圆的圆心是,半径是.
【例2】点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(1,+∞)
【例3】圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
+(y-2)2=1 +(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 +(y-3)2=1
【例4】圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+y2=5 +(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5 +(y+2)2=5
【变式1】已知圆的方程为,则圆心坐标为
【变式2】已知圆C与圆关于直线对称,则圆C的方程为
【变式3】若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是
( )
A.(x-3)2+2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 +(y-1)2=1
【变式4】已知的顶点坐标分别是,,,求外接圆的方程.
方法总结:
,b,r的方程组.
,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】若方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆,则的取值范围是( )
A.<m<1 <或m>< >1
【例2】将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( )
+y-1=0 +y+3=-y+1=0 -y+3=0
【例3】圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为________.
【变式1】已知点是圆上任意一点,P点关于直线的对称点也在圆C上,则实数=
【变式2】已知一个圆经过点、,且圆心在上,求圆的方程.
【变式3】平面直角坐标系中有四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?
【变式4】如果三角形三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为________________.
方法总结:
,E,F的方程组.

考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( )
+y2=32 +y2=16
C.(x-1)2+y2=16 +(y-1)2=16
【例2】方程表示的曲线是()

【例3】在中,若点的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是()
.
.
【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0),并画出曲线.
【变式1】方程所表示的曲线是()

【变式2】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( )
+y2=32 +y2=16
C.(x-1)2+y2=16 +(y-1)2=16
【变式3】如右图,过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.
【变式4】如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
方法总结:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
(1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简.
(2)定义法:根据直线、圆等定义列方程.
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.
(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
考点四:与圆有关的最值问题
【例1】已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是________
【例2】已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为________.
【例3】已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )
A. . D.
【例4】已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1则2x-y的最大值为________,最小值为________.
【变式1】P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为________.
【变式2】由直线y=x+2上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当|PT|最小时,点P的坐标是( )
A.(-1,1) B.(0,2)C.(-2,0) D.(1,3)
【变式3】已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是________.
【变式4】已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
方法总结:解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.
(4)一条直线与圆相离,在圆上找一点到直线的最大(小)值:(其中d为圆心到直线的距离)