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第一单元分数乘法
(第2页例1)
分数乘整数的意义:分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算。如:34×7表示7个34相加。
分数乘整数的计算方法:分数乘整数,用分子乘整数的积作分子,分母不变。能先约分的可以先约分,再计算,结果相同。
(第3页例2)
一个数乘几分之几,表示求这个数的几分之几是多少。求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,即:这个数×几分之几。注意:一个数包括分数、小数、整数。
如:7×34表示求7的34是多少?反之:7的34是多少?就用:7×34;再如:×?反之:?就用:×34。
(第3页例3)
分数乘分数的表示意义:分数乘分数的表示意义与一个数乘几分之几的表示意义相同,即表示求第一个分数的几分之几是多少。
分数乘分数的计算方法:分数乘分数,用分子乘分子的积作分子,用分母乘分母的积作分母。
(第5页例4)
为了计算简便,可以先约分再乘。
(第8页例5)
分数乘小数,可以把分数化成小数再乘,也可以把小数化成分数再乘,但一般采用把小数化成分数再乘,因为有些分数化不成有限小数。
(第8页例6)
分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同,即:有括号的,先算括号里面的,再算括号外面的。没有括号的,先算乘法,再算加减法。如果只有加减法的,按从左往右的顺序计算。
(第9页例7)
整数乘法的交换律、结合律、分配律。对于分数乘法也适用。
乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
用字母表示:a×b=b×a。
乘法结合律:三个数相乘,可以先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。
用字母表示:a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:两个数的和与一个数相乘,可以把它们分别与这个数相乘,再加,结果不变。
用字母表示:(a+b)×c=a×c+b×c
(连乘)(第13页例8)
如:我班有36人,13的同学喜欢打篮球,喜欢打乒乓球的人数是喜欢打篮球人数的34。我班有多少名同学喜欢打乒乓球?
(或少)几分之几的数是多少(第14页例9)
如:乙数是10,甲数比乙数多15,甲数是多少?
分析:把比字后面的乙数看成单位1,那甲数就是乙数的1+15=65,也就是甲数比乙数多15可以理解为甲数是乙数的65,根据求一个数的几分之几用乘法,得出关系式:甲数=乙数×65,把乙数换成10,得甲数=10×65。
列综合式:10×(1+15)=10×65=12。
补充:分数乘法的规律
(1)一个数乘真分数,积小于这个数。
(2)一个数乘假分数,积大于或等于这个数。
第二单元位置与方向(二)
,用方向和距离描述某个点的位置(第19页例1)
要确定一个点的位置,必须要确定观测点、方向和距离。点的位置是相对的,观测点改变,方向和距离也随之改变。
完整说法就是要说清:谁在谁的什么偏什么几度方向上,距离是多少。
如:学校在小明家北偏东25度方向上,距离是400米。
这句话是在确定学校的位置,观察点是小明家,方向是北偏东25度,距离是400米。
一般情况下,“在”字左面是要确定的点,“在”字右面是观察点。
方向包括“东偏北,北偏东;南偏东,南偏西;西偏北,西偏南;北偏东,北偏西”八个“偏”,几度要看夹角,一般不超过45度。当超过45度时,就要用90度减去这个度数,再把方向颠倒过来,如:北偏东,就要改成东偏北。通常用小于45度的度数来描述。
距离要看比例尺,1厘米代表多长,有几个这样的长度,就用“段数×比例尺代表的长度=距离”。
,在图上确定某个点的位置(第20页例2)
第一步,找方向:以“偏”字左面的字所在的线为0刻度线,坐标的中心为顶点,量取需要的度数画出一个角。
第二步,定距离:看已知的长度里面有多少个比例尺代表的数量,画出多少段。即“已知长度÷比例尺代表的数量=段数”。
第三步:标出角度和地点名称,地点名称就是“在”字左面的地点。
(第22页例3和第26页第9题)
(1)根据路线图说路线:每一个观测的描述跟上面第1条的方法一样,但每换一个观测点,就要重新建立坐标,更换方向,找出距离。
(2)根据路线描述画路线图:每一个观察点的画法与上面第2条一样,但每换一个观测点,就要重新建立坐标系,按照上面绘图的三步法来画路线图。
第三单元分数除法
(第28页例1)
乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数,1的倒数还是1。找一个数的倒数,只需要交换分子、分母的位置。注意:除0之外,整数、小数都有倒数,不要误认为只有分数才有倒数。
(第30页例1)
分数除以整数,表示把一个分数平均分成若干份,求一份是多少。在计算时,可以用分子除以整数的商作分子,分母不变,也可以用分数乘整数的倒数。
(第31页例2)
一个数除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
(第33页例3)
分数混合运算的顺序与整数四则运算顺序相同:有括号的,先算括号里面的;没有括号的,先算乘除法,再算加减法;如果只有乘除法或者只有加减法,就按从左往右的顺序计算。
能使用运算定律简便计算的,一定要简算。
,求这个数(第37页例4)
类似的题实际上是要我们计算单位1代表的实际数量。如:甲数的23是20,甲数是多少?
“的”字前面的“甲数”是单位1,后面的23是分率,“的”就是乘号,得关系式为:甲数×23=20,要求甲数,那就用除法,也可用方程来解。
这类题目的关系式为:
单位1的数量×对应分率=对应数量
(少)几分之几是多少,求这个数(第38页例5)
这种题也还是求单位1代表的实际数量。
技巧:在分数的乘除法里,人们在表达数量时,常常有两种表示方式,一是用实际数量表示,二是用分率(包括分数和百分数)表示。在计算时,有时求实际数量,有时是求分率。这类题的明显标志是含有“是占比”之类的字。通常情况下,我们把“是占比”前面的数称为“对应数量”,后面的数称为“单位1的数量”,题中没有带计量单位的分数称为“分率”。“分率”分两种,一种是“对应的分率”,一种是“相差的分率”。如下面的815就是相差的分率(单位1减对应分率的差),它表示爸爸的体重是1,那小明的体重比爸爸的体重轻815,而不是小明的体重是爸爸的体重的815,而是两个体重的分率之差。
对应的分率=单位1-相差的分率。
如:小明的体重是35千克,他的体重比爸爸的体重轻815,小明爸爸的体重是多少千克?
本题中的35千克是对应数量,爸爸的体重是单位1,815是相差的分率。把爸爸的体重看成单位1,那对应分率就等于“单位1-相差的分率815”,得小明体重35千克对应的分率715。题中是要求单位1的数量,那就用对应数量除以对应的分率,即:35÷715=75(千克)。
这种题目的关系式为:
对应数量=单位1数量×(单位1-相差分率)
把题中知道的数换进去,不知道的数设为Χ,列方程来解较简单。
(或差),其中一个数是另一个数的几分之几或几倍,求这两个数(第41页例6)
这类题目,往往会告诉我们两个未知数的两个关系,一是告诉两数之和(或差),二是告诉两数的倍数或谁是谁的几分之几。在解题时,设单位1的数为Χ,利用两数倍数关系表示出较大的数,再根据两数之和列方程。
如:航模小组和美术小组一共有45人。美术小组的人数是航模小组的45。航模小组和美术小组分别有多少人?
根据“美术小组的人数是航模小组的45”,说明单位1是航模小组,所以设航模小组的人数为X,那美术小组的人数就是45X。
再根据“航模小组和美术小组一共有45人”,那就说明航模小组加美术小组等于45人,把航模小组换成X,美术小组换成45X,就得方程:X+45X=45人。
特别牢记:“是、占、比”等字后面的数是单位1。
“1”表示的分数除法问题(第42页例7)
这类题俗称工程问题,就是不知道工作总量是多少,要把工作总量假设为1,再根据下面的方法计算。
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
工作效率×工作时间=工作总量
技巧:总起来说,在解决分数(包括百分数)乘除法应用题时,要抓住题中的关键字帮助理解。这些关键字可以直接换成相应的运算符号,如“是、占、比、只有、相当于”等字换成“=”号,分率左边的“的”字换成“×”号,“多、重、长、全、和”换成“+”号,“少、轻、短”换成“-”号,“平均分”换成“÷”号。
经过这么一换,就得到关系式,再把知道的数换进去,不知道的数设为X,列方程来解要简单得多。如果告诉相差分率的,要用单位1参与计算出对应分率,因为实际数量不能直接加减分率。如小明的体重比爸爸的体重轻815,就要把爸爸的体重看1,用“1-815”得小明的体重是爸爸的体重的715。
补充:分数除法的规律
(1)一个数除以真分数,商大于这个数。
(2)一个数除以假分数,商小于或等于这个数。
第四单元比
(第49页上方内容)
两个相除,又叫做两个数的比。也就是说,两个数相除,只要把号“÷”换成比号(︰),就成了比。
在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示。
比与除法、分数关系如下
比
前项
比号︰
后项
比值
除法
被除数
除号÷
除数
商
分数
分子
分数线——
分母
分数值
(第50页上方内容)
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(第50页例1)
(1)化简整数比:前项和后项同时除以它们的最大公因数。
(2)化简分数比:前项和后项同时乘分母的最小公倍数,再按整数比的方法化简。
(3)化简小数比:方法有二。一是观察比项中的小数位数,一位小数的,前后项同时乘10;两位小数的,前后项同时乘100……把小数比变成整数比,再化简。二是可把小数化成分数后,变成分数比再化简。
(第54页例2)
把比的前项和后项看成份数去分配。如:甲乙两数的和是300,甲数与乙数的比是2︰3。甲乙两数各是多少?
分析:它们的比是2︰3,那就是说,甲数占2份,乙数占3份,共有5份,然后用它们的和300除以5份,得每份是60,那甲数占2份,就是60×2=120,乙数占3份就是60×3=180。
列式为:2+3=5
甲:300÷5×2=120
乙:300÷5×3=180
(第56页第9题)
告诉几个数,怎样求出它们的比呢?直接按数的顺序把数写成比的形式,再化简。
如:某仓库里储存了150吨大米,60吨面粉和15吨杂粮,求这个仓库里储存的大米、面粉和杂粮的比。
大米︰面粉︰杂粮=150︰60︰15=10︰4︰1
注意:顺序不能颠倒。
第五单元圆
(第58页59页内容)
圆是曲线图形。用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心,一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,一般用字母r表示,半径的长度就是圆规两脚之间的距离。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。
把圆沿任何一条直径对折,两边可以重合。
一个圆里的半径有无数条,直径有无数条。
同一圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等,直径长度是半径长度的2倍,半径长度是直径长度的一半,也就是
12。用字母表示:
d=2rr=d÷2或r=d×12
圆的中心位置是由圆心决定的,圆心确定了,圆的位置就确定了。半径决定圆的大小。利用圆可以设计出美丽的图案。
(第62页63页内容和64页例1)
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。它是一个无限不循环小数,π=……但在实际应用中常常只取它的近似值,例如π≈。
如果用C表示圆的周长,就有:C=πd或C=2πr
(第67页内容和第68页例1)
把圆分成若干(偶数)等份,剪开后,用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼,拼成的图形接近于一个长方形。长方形的长近似于圆周长的一半(C2),宽近似于半径(r)。因为长方形的面积=长×宽,
所以圆的面积=C2×r=2πr2×r=πr×r=πr2
如果用S表示圆的面积,那么圆的面积计算公式就是:S=πr2
(第68页例2)
圆环面积=大圆面积-小圆面积=πR2-πr2=π(R2-r2)
(第69页例3)
外方内圆:正方形面积-圆面积=
外圆内方:圆面积-正方形面积=
(第75页内容)
圆上A、B两点之间的部分叫做弧,读作弧AB。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角,一般用n来表示。
扇形的周长=πd×n360(或2πr×n360)+2r
即:扇形的周长=弧长+两条半径。
扇形的面积=πr2×n360
第六单元百分数(一)
、写法(第82页83页内容)
百分数表示一个数是另一个数的百分之几,又叫做百分率或百分比。百分数是一种特殊的分数,一是分母固定是100,二是分子里面可以含小数,三是分母必须写成%的形式,四是不能表示实际数量,只能表示两个数的关系。
读百分数时,先读分母,再分子。
写百分数时,先写分子,再写百分号。
、小数化成百分数(第84页例1)
求一个数是另一个数百分之几,用一个数除以另一个数,再乘100%。
小数化成百分数,只要把分子的小数点向右移动两位,再添上%。
分数化成百分数,先算出分子除以分母的商,再把小数点向右移动两位,添上%。
、小数(第85页例2)
求一个数的百分之几是多少,用这个数乘百分之几。
百分数化成分数,先把百分数改写成分母是100的分数,再约分。如果分子里面有小数,一位小数的,分子分母同时乘10,两位小数的,分子分母同时乘100后,再约分。
百分数化成小数,只要把分子的小数点向左移动两位,去掉%。
(或少)百分之几(第89页例3)
先计算出两个数的差,再除以“比”字后面的数,结果写百分数形式。
(或少)百分之几的数是多少(第90页例4)
先用单位1加(减)百分之几,算出对应百分率,再用对应数量除以对应百分率。也可用方程解,方法与分数除法是一样的。
(只知涨降幅度,不知具体数量)(第90页例5)
先假设第一个“比”字后面的数量为1,算出第一个“比”字前面的数量,再根据第二个“比”字算出第二个“比”字前面的数量。然后用第二个“比”字前面的数量减去假设的数量的差,再除以假设的数量,结果写百分数。
第七单元扇形统计图
(第96页例1)
扇形统计图表示各部分数量与总数之间的关系。
要求各部分数量,用总数乘各部分的百分率。
要求各部分数量所占的百分率,用各部分数量除以总数。
(第98页例2)
条形统计图表示数量的多少。
折线统计图表示数量的变化。
扇形统计图表示各部分数量与总数之间的关系。
如果题中只有一组数据,没有明显的变化,就用条形统计图。
如果题中的数据是随着时间变化的,就用折线统计图。
如果题中只告诉各部分的百分率,就用扇形统计图。
第八单元数学广角——数与形
,2,3……之和与正方形的关系(第107页例1)
第一个图形的个数是1的平方,第二图形的个数是2的平方,第三个图形的个数是3的平方……第几个图形的个数就几的平方个。
,14,18……之和(第107页例2)
根据数据选择适合的图形帮助解决问题。
12+14+18……=1
补充:
÷路程=一段路程所需时间