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平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。
平行四边形性质1:平行四边形的两组对边分别相等。
平行四边形性质2:平行四边形的两组对角分别相等。
平行四边形性质3:平行四边形的两条对角线互相平分。
平行四边形判定1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形判定2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定4:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定5:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行线之间的距离及特征
平行线之间的距离定义:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离特征1:平行线之间的距离处处相等。
平行线之间的距离特征2:夹在两条平行线之间的平行线段相等。
矩形
矩形定义1:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2:有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是各边的垂直平分线。
矩形性质1:矩形的四个角都是直角。
矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分。
(注意:矩形具有平行四边形的一切性质)
直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定2:有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定3:对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
菱形定义1:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2:四条边都相等的四边形叫做菱形。
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是对角线所在的直线。
菱形性质1:菱形的四条边都相等。
菱形性质2:菱形的对角线互相垂直平分。
菱形性质3:菱形的每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积:菱形的面积等于对角线乘积的一半。
推广:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。
菱形判定1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形判定2:四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定3:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形判定4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
(注意:菱形具有平行四边形的一切性质)
正方形
正方形定义1:有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形定义2:有一个角是直角的菱形叫做正方形。
正方形定义3:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
正方形性质1:正方形的四个角都是直角。
正方形性质2:正方形的四条边都相等。
正方形性质3:正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。
正方形判定1:有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形判定2:有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定3:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
正方形判定4:对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
(注意:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质)
四边形的典型题目精编
1,如图1,在平行四边形ABCD中,下列各式不一定正确的是()
A.∠1+∠2=180°B.∠2+∠3=180°
C.∠3+∠4=180°D.∠2+∠4=180°
2,如图2,在□ABCD中,EF//AB,GH//AD,EF与GH交于点O,则该图中的平行四边形的个数共有()
E
F
A
B
C
D
图3
图4
图2
图1
3,如图3,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F=( )
° ° ° °
4,对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )
5,下列说法中,正确的是( )
6,菱形、矩形、正方形都具有的性质是()
7,已知:如图4,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为( )
A
B
C
D
图7
图6
1m
1m
30m
20m
图8
平行四边形
矩形
正方形
图5
8,在学****四边形”一章时,小明的书上有一图因不小心被滴上墨水(如图5),看不清所印的字,请问被墨迹遮盖了的文字应是( )
9,如图6,在宽为20m,长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路,,计算耕地的面积为( )
10,如图7,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是()B
∶4 ∶8 ∶16 ∶2
二、填空题(每题3分,共24分)
11,如图8,AB∥DC,AD∥BC,如果∠B=50°,那么∠D=___度.
图10
12,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°,BD=2,AE是梯形的高,且BE=1,则AD=___.
A
E
B
C
D
F
C1
图11
C
图12
H
D
A
E
B
F
G
图9
13,一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4的四个小平行四边形(如图9),当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时,S1·S4与S2·S3与的大小关系是___.
14,如图10,已知AB∥DC,AE⊥DC,AE=12,BD=15,AC=20,
15,矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图11方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=___cm.
16,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=2∠=18cm,则AD=___cm.
17,如图12,矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长等于___cm,四边形EFGH的面积等于___cm2.
图13
18,在直线l上依次摆放着七个正方形(如图13所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=___.
三、解答题(共40分)
19,如图14,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=4,BC=∠B的度数.
20,如图15,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、:OE=OF.
图14
A
C
D
B
图17
A
B
C
D
O
E
图16
E
D
C
O
B
F
A
21,如图17,在□ABCD中,∠ABC=5∠A,过点B作BE⊥DC交AD的延长线于点E,O是垂足,且DE=DA=4cm,求:(1)□ABCD的周长;(2)四边形BDEC的周长和面积(结果可保留根号).
22,如图18,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、:四边形AFCE是菱形.
图21
图19
图18
23,如图20,正方形 ABCD中,P是CD边上一点,DF⊥AP,BE⊥:AE=DF.
24,如图19,在矩形ABCD中,P是形内一点,且PA=:PB=PC.
25,如图,在梯形中,,,,
于点E,F是CD的中点,DG是梯形的高.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)设,四边形DEGF的面积为y,求y关于x的函数关系式.
图20
参考答案:
一、1,D;2,C;3,D;4,A;5,A;6,C;7,C;8,D;9,B;10,B.
二、11,50;12,2;13,S1·S4=S2·S3;14,150;15,;16,9;17,10、6;18,4.
三、19,过A点作AE∥CD,有□AECD,则△∠B=60°;20,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AO=CO,即∠EAO=∠FCO,又∠AOE=∠COF,则△AOE≌△COF,故OE=OF;21,在□ABCD中,因为∠ABC=5∠A,又∠A+∠B=180°,所以∠A=30°,而AB∥DC,BE⊥DC,所以BE⊥AB,在Rt△ABE中,∠ABE=90°,AE=2AD=8cm,∠A=30°,所以BE=AE=4cm,由勾股定理,得AB==4(cm),所以□ABCD的周长=(8+8)cm;(2)因为BC∥AD,BC=AD,而AD=DE,所以DE=BC且DE∥BC,即四边形BDEC是平行四边形,又BE⊥DC,所以□BDEC是菱形,所以四边形BDEC的周长=4DE=16(cm),面积=DC·BE=8(cm2);22,易证△AOE≌△COF,所以OE=OF,所以四边形AFCE是平行四边形,又AC⊥EF,所以四边形AFCE是菱形;23,证△ABE≌△DAF即得;24,证△PBA≌△PCD即得;
25,【答案】:(1)证明:∵,∴梯形ABCD为等腰梯形.∵∠C=60°,∴,又∵,
∴.∴.∴.
由已知,∴AE∥DC.
又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中点,
∵F是DC的中点,∴EF∥BC.∴EF∥AD.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)解:在Rt△AED中,,∵,∴.
在Rt△DGC中∠C=60°,并且,∴.
由(1)知:在平行四边形AEFD中,又∵,∴,
∴四边形DEGF的面积,
∴.