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一、等差数列
:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项;数列可以看作一个定义域为正整数集(.
它具有如下特征:
,或
注意:
(1)证明数列{}是等差数列的五种基本方法(③④⑤大多用在客观题上):
①利用定义:证明(常数)
②利用中项性质:证明
③通项公式法:(p、q为常数)为等差数列
④前n项和公式法:(A、B为常数)为等差数列
⑤成等比数列且为等差数列
(2)证明数列不是等差数列的常用方法:找反例.(如验证前三项不成等差数列).
(3)若,则不是等差数列,求可用累加法
变式:
(联想点列所在直线的斜率)
;
变式:①联想:是以为首项,为公差的等差数列.
②
③联想:是以为首项,为公差的等差数列
④联想:算术平均数
若a,b,c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且.
(等差数列中)
(1)对称性质:若m+n=p+q(m.、n、p、q),则;
特别地:当m+n=2p时;
(2)若d为{}的公差,则其子数列也成等差数列,且公差为;
(3)片段和性质:也成等差数列,且公差为;
(4)若,都是等差数列,则都为等差数列;
(5)若项数为2n(n)则;;
若项数为2n-1(n)则;;.
评注:有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,,则“偶数项和”-“奇数项和”=总项数的一半与其公差的积;若总项数为奇数,则“奇数项和”-“偶数项和”=此数列的中项.
、技巧,减少运算量(注意对称设元,整体消参,设而不求)
(1)设元技巧:如三个数成等差数列,可设为;
四个数成等差数列,可设为.
(2)在等差数列中,求最值:
方法一:建立的目标函数,转化为n的二次函数求;
方法二:若有最大值,这时可由不等式组来确定n;
若有最小值,这时可由不等式组来确定n.
(3)基本量计算:等差数列中有五量()、三式(一个通项公式,两个求和公式),一般可以“知三求二”通过列方程(组)求关键量和d,问题可迎刃而解.
(4)几个重要结论
二、等比数列
:
定义:______________________________________________.
它具有如下特征:(q为不为零常数)或者(nN*)
注:(1)证明数列是等比数列的两个基本方法:
①利用定义:(q为不为零常数)
②利用等比中项:
③通项公式法:
④前n项和法:
⑤成等差数列为等比数列
(2)证明数列不是等比数列的常用方法:找特例.
:;
变式:;(n>m;m、n)
:
;
(1)注意:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时分类讨论.
(2)当公比q1时,
若a,G,b成等比数列,则G为a,b的等比中项,即.
在等比数列中,有
(1)若m+n=p+q,m,n,p,q,则;
当m+n=2p时,;
(2)若成等比数列,则也成等比数列;
(3)若q为{}的公比,则其子序列也成等比数列,公比为;
(即序号成等差数列的项按原次序构成新的等比数列)
(4)片段和:也成等比数列,且公比为.
、技巧:
(1)
(2)前n项和公式,一定要分q=1或q1两种情况.
(3)设元技巧:三个数成等比数列,通常设为;
四个数成等比数列,不能设为,只有当q>0时才可以.
(4)等比数列的单调性
①当时,等比数列为递增数列;
②当时,等比数列为递减数列;
③当时,等比数列为常数列;
④当时,等比数列为摆动数列.
(5)有限项等比数列中,设“偶数项和”为,“奇数项和”为
①若总项数为偶数2n,则;
②若总项数为奇数,.
三、数列求和的方法:
(1)等差数列的前n项和公式(三种形式);
(2)等比数列的前n项和公式(三种形式);
(3)几个重要公式
:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).
如:在和之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,求所插入的n个数之积.
:适用于的数列;其中成等差数列,成等比数列.
记;则.
(这也是等比数列前和公式的推导方法之一)
:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,:
①
②
③
④
:适用于,而、的和易求得.
四、求一般数列通项公式的类型及方法:
(等差、等比数列);
,是否分段,需要验证.
(数列的通项、数列的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前项和公式的关系)
:适用于差后等差或差后等比的数列;
;
如:①已知数列满足求;
②已知数列满足求.
:适用于分式给出的递推式,累积后可以消去中间项,
如:①已知数列满足,a1=1,求;
②已知数列满足,a1=1,求.
:
(1)利用递推关系写出数列的前几项,根据前几项的特点观察、归纳猜想出的表达式,然后用数学归纳法证明.
(2)将递推关系式进行变形,然后运用累加、累积、迭代、换元转化为常见数列(等差、等比数列);
如:已知数列满足求;
已知数列满足求.
五、数列的应用(三个模型)
凡涉及到利息、产量、降价、繁殖增长率以及分期付款等问题时都可以用数列解决.
(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和
(2)单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和
(3)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值