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第一章常用逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.
假命题:判断为假的语句.
2、“若,则”形式的命题中的称为命题的条件,称为命题的结论.
3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,,另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若,则”,它的逆命题为“若,则”.
4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,,另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若,则”,则它的否命题为“若,则”.
5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,,另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若,则”,则它的否命题为“若,则”.
6、四种命题的真假性:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系:
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若,则是的充分条件,是的必要条件.
若,则是的充要条件(充分必要条件).
8、用联结词“且”把命题和命题联结起来,得到一个新命题,记作.
当、都是真命题时,是真命题;当、两个命题中有一个命题是假命题时,是假命题.
用联结词“或”把命题和命题联结起来,得到一个新命题,记作.
当、两个命题中有一个命题是真命题时,是真命题;当、两个命题都是假命题时,是假命题.
对一个命题全盘否定,得到一个新命题,记作.
若是真命题,则必是假命题;若是假命题,则必是真命题.
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“”表示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对中任意一个,有成立”,记作“,”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“”表示.
含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在中的一个,使成立”,记作“,”.
10、全称命题:,,它的否定:,.全称命题的否定是特称命题.
第二章圆锥曲线与方程
11、平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于),两焦点的距离称为椭圆的焦距.
12、椭圆的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
准线方程
13、设是椭圆上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的距离为,则.
14、平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于),两焦点的距离称为双曲线的焦距.
15、双曲线的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或,
或,
顶点
、
、
轴长
虚轴的长实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称,关于原点中心对称
离心率
准线方程
渐近线方程
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
17、设是双曲线上任一点,点到对应准线的距离为,点到对应准线的距离为,则.
18、,定直线称为抛物线的准线.
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即.
20、焦半径公式:
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则.
21、抛物线的几何性质:
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
第三章空间向量与立体几何
22、空间向量的概念:
在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
,箭头所指的方向表示向量的方向.
向量的大小称为向量的模(或长度),记作.
模(或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量.
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作.
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
23、空间向量的加法和减法:
求两个向量和的运算称为向量的加法,:在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形,则以起点的对角线就是与的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.
求两个向量差的运算称为向量的减法,:在空间任取一点,作,,则.
24、实数与空间向量的乘积是一个向量,,与方向相同;当时,与方向相反;当时,为零向量,.
25、设,为实数,,是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.
分配律:;结合律:.
26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
27、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.
28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
29、向量共面定理:空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,,使;或对空间任一定点,有;或若四点,,,共面,则.
30、已知两个非零向量和,在空间任取一点,作,,则称为向量,的夹角,:.
31、对于两个非零向量和,若,则向量,互相垂直,记作.
32、已知两个非零向量和,则称为,的数量积,记作
..
33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
34、若,为非零向量,为单位向量,则有;
;,,;
;.
35、向量数乘积的运算律:;;
.
36、若,,是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量,存在有序实数组,使得,称,,为向量在,,上的分量.
37、空间向量基本定理:若三个向量,,不共面,则对空间任一向量,存在实数组,使得.
38、若三个向量,,不共面,则所有空间向量组成的集合是
.这个集合可看作是由向量,,生成的,
称为空间的一个基底,,,.
39、设,,为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以,,的公共起点为原点,分别以,,的方向为轴,轴,,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,,,,称作向量在单位正交基底,,下的坐标,,向量的坐标是点在空间直角坐标系
中的坐标.
40、设,,则.
.
.
.
若、为非零向量,则.
若,则.
.
.
,,则.
41、在空间中,取一定点作为基点,.
42、,向量表示直线的方向向量,则对于直线上的任意一点,有,这样点和向量不仅可以确定直线的位置,还可以具体表示出直线上的任意一点.
43、,它们的方向向量分别为,.为平面上任意一点,存在有序实数对,使得,这样点与向量,就确定了平面的位置.
44、直线垂直,取直线的方向向量,则向量称为平面的法向量.
45、若空间不重合两条直线,的方向向量分别为,,则
,.
46、若直线的方向向量为,平面的法向量为,且,则
,.
47、若空间不重合的两个平面,的法向量分别为,,则
,.
48、设异面直线,的夹角为,方向向量为,,其夹角为,则有
.
49、设直线的方向向量为,平面的法向量为,与所成的角为,与的夹角为,则有.
50、设,是二面角的两个面,的法向量,则向量,的夹角(或其补角),则.
51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算.
52、在直线上找一点,过定点且垂直于直线的向量为,则定点到直线的距离为.
53、点是平面外一点,是平面内的一定点,为平面的一个法向量,则点到平面的距离为.