猎狗追兔问题及应用探究.doc

文档介绍：猎狗追兔问题
问题
在旷野上有一只野兔和一条猎狗,猎狗发现了野兔并开始追踪,同时野兔也发现了猎狗,开始向兔穴跑去。设兔穴位于坐标原点,野兔和猎狗的初始位置分别为和,假定猎狗的追踪方向始终对着野兔,猎狗和野兔的奔跑速度分别为 u=5m/s 和 v=3m/s。
问:猎狗能否在野兔进洞前抓住野兔?
分析:
在时刻t时,兔子位于,设猎狗位于,由于猎狗的追踪方向始终对着野兔,故有

猎狗在[0, t]内走过的路程为

消去t后可得

两边求导

初始条件:

计算x=0时y的值,若小于0,则表示能追上兔子,否则表示没追上。
令, 记,则原方程化为
即
两边取积分可得
故
其中
两边再取积分可得
其中
将初值条件和代入可得
,
当时,,故猎狗在野兔进洞前追上了野兔。