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设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,是
[a,b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足
则称为f(x)的一个插值函数,f(x)为被插函数,点
xi为插值节点,称()式为插值条件,而误差函数
R(x)=称为插值余项,区间[a,b]称为插值
区间,插值点在插值区间内的称为内插,否则称外插
()
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插值函数在n+1个互异插值节点(i=0,1,…,n)
处与相等,在其它点x就用的值作为f(x)
的近似值。这一过程称为插值,点x称为插值点。换
句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用的值作为f(x)的近似值,不仅希
望能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多项式。
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满足
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示
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证明:设n次多项式
是函数在区间[a,b]上的n+1个互异的节点(i=0,1,2,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)
的问题就归结为求它的系数(i=0,1,2,…,n)。
由插值条件:(i=0,1,2,…,n),可得
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这是一个关于待定参数的n+1阶线性方
程组,其系数矩阵行列式为
称为Vandermonde(范德蒙)行列式,因xi≠xj
(当i≠j),故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆
(Gramer)法则,方程组的解
存在惟一,从而P(x)被惟一确定。
惟一性说明,不论用何种方法来构造,也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件()其结果都是相互恒等的。
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(Lagrange)插值
为了构造满足插值条件(i=0,1,2,…,n)
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
然后再推广到一般形式。
线性插值与抛物插值
(1)线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数
f(x)在两个互异的点,的值,
,现要求用线性函数近似地代替f(x)。选
择参数a和b,使。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。
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线性插值的几何意义:用
通过点和
的直线近似地代替曲线
y=f(x)由解析几何知道,
这条直线用点斜式表示为
为了便于推广,记
这是一次函
数,且有性质
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与称为线性插值基函数。且有
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
,,求
解:这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,利用线性插值
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(2)      抛物插值
抛物插值又称二次插值,它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2,要构造次数不超过二次的多项式
使满足二次插值条件:
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
的抛物线近似代替曲线
,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
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P(x)的参数
直接由插值条件决定,
即满足下面
的代数方程组:
该三元一
次方程组
的系数矩阵
的行列式是范德蒙行列式,当时,
方程组的解唯一。
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