文档介绍：§1 引言
第二章插值/* Interpolation */
究函数的变化规律,往往需要求不在表上的函数值。因
此,我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数
的特性,又便于计算的简单函数,用近似。
许多实际问题都用函数来表示某种内在规
律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或计算
得到的,并且只是上一系列点的函数值
这只是一张函数表。有的问题虽有解析表达式,但由于
计算复杂,使用不方便,通常也造一个函数表,比如平
方根表、立方根表、对数表和三角函数表等等。为了研
x0
x1
x2
x3
x4
x
p(x)  f(x)
如:通常用代数多项式或分段代数多项式作为,并使
对成立。这样确定的就是我们希望得到的插值函数。
§1 Introduction
已知在点上的值
若存在一简单函数,使
设函数在区间上有定义,且
插值法定义
成立,就称为的插值函数,点
插值节点,包含插值节点的区间称为插值区间,
()称为插值条件,求插值函数的方法称为插值法。
称为
若为次数不超过的代数多项式,即
其中为实数,就称为插值多项式,相应的插值法称
为多项式插值。若为分段多项式,就是分段插值。若
为三角多项式,就称为三角插值。
§1 Introduction
刘焯
(公元554-610)
隋代天文学家
《皇极历》
《历书》
插值法+天文计算
( 公元6世纪)
由插值条件可得
……
插值多项式的存在唯一性
这是一个关于的元线性方程组。
要证明插值多项式的存在唯一性,只要证明上述方程组存在唯一解,也就是证明方程组的系数行列式的值不为零。
设是形如的插值多项式,用代表所有次数不超过的多项式集合,,就是指在集合中有且只有一个满足插值条件。
§1 Introduction
式中称为Vandermond行列式。
故方程组存在唯一的一组解。
利用行列式性质可得
,故所有因子
由于
以上论述可写成下列定理:
于是
其系数行列式为
§1 Introduction
§1 Introduction
定理
(唯一性) 满足次数不超过 n的插值多项式是唯一存在的。
证明: (另一证法)
反证:若不唯一,则除了pn(x) 外还有另一 n 阶多项式 Ln(x) 满足 Ln(xi) = yi 。
考察则 Qn 的次数
 n
n + 1
x0 … xn
而 Qn 有个不同的零点
注:若不将多项式次数限制为 n ,则插值多项式不唯一。
例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。
问题: 如何确定n次多项式?
§2 拉格朗日多项式/* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式
使得
条件:无重合节点,即
(
0
使得
n = 1
1
1
L
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ,求
y
0
,
(
x
1
L
)
1
y
=
)
x
=
可见 L1(x) 是过( x0 , y0 ) 和( x1, y1 ) 两点的直线。
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
x
x
x
x
y
y
y
x
L
-
-
-
+
=
1
0
1
x
x
x
x
-
-
0
1
0
x
x
x
x
-
-
= y0 + y1
l0(x)
l1(x)

=
=
1
0
)
(
i
i
i
y
x
l
称为拉氏基函数/* Lagrange Basis */,
满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
E. Waring
(1736-1798)
英国数学家、皇家学会院士
Lucas教授
Lagrange插值法(1779)
L. Euler
(1707-1783)
瑞士数学家
最伟大的数学家之一
最多产的数学家
Lagrange插值法(1783)
Lagrange插值法
(1795)
§2 Lagrange Polynomial
n  1
希望找到li(x),i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ;然后令

=
=
n
i
i
i
n
y
x
l
x
L
0
)
(
)
(
,则显然有Ln(xi) = yi 。
li(x)
每个 li 有 n 个零点 x0 … xi … xn

=
-
=
-
-
-
=
n
j
j  i
j
i
n
i
i
i
x
x
C
x
x
x
x
x
x
C