江苏高考数学试卷含答案.docx

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数学
(全卷满分160分,考试时间120分钟)
棱锥的体积V=1Sh,其中S为底面积,h为高.
3
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,.
(2012年江苏省5分)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则AUB=▲•
【答案】{1,2,4,6}。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得AUB二{124,6}。
(2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比3:为3:4,现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取▲名学生.
【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由50x(2012年江苏省5分)设a,beR,a+bi=11二卫(i为虚数单位),则a+b的值
-2i
为▲
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
=15知应从高二年级抽取15名学生。
+3+4
【分析】由a+b=牆
得a+bi=
11-7=(11-7i)(1+2i)=11+15i+14
1-2i=(1-2i)(1+2i)=1+4
=5+3i,所以
a=5,b=3,a+b=8。
(2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是▲.
【答案】5。
【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:
是否继续循环
k
循环前
0
0
第一圈
是
1
0
第二圈
是
2
—2
第三圈
是
3
—2
第四圈
是
4
0
第五圈
是
5
4
第六圈
否
输出5
•°・最终输出结果k=5。
5.(2012年江苏省5分)函数f(x)=1-2losx的定义域为▲•
6
【答案】(0,J可。
【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
x>0
1-2log6
1n
logx<—
“2
x>0
n0<x<V6。
x<62=V6
(2012年江苏省5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是▲.
【答案】3。
5
【考点】等比数列,概率。
【解析】•・•以1为首项,-3为公比的等比数列的10个数为1,—3,9,-27,・••其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,
・・・从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是A=3。
5
(2012年江苏省5分)如图,在长方体ABCD—ABCD中,AB=AD=3cm,AA=2cm,
11111
则四棱锥A-BBDD的体积为^cm3.
ii
【答案】6。
【考点】正方形的性质,棱锥的体积。
【解析】J长方体底面ABCD是正方形‘•••△ABD中BD=3、込cm,BD边上的高是3<2
cm(它也是A-BBDD中BBDD上的高)。
1111
・•・四棱锥A-BBDD的体积为-x3^2x2x-<2=6。由
1132
(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线兰-——=1的离心
mm2+4
率为启,则m的值为▲・
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由乂=-得a=4m,b=Jm2+4,c=Jm+m2+4。
mm2+4
...e=£m+¥+4=J5,即m2-4m+4=0,解得m=2。
a\:m
(2012年江苏省5分)如图,在矩形ABCD中,AB二运,BC二2,点E为BC的中
点,点F在边CD上,若AB-AF二运,则AE-BF的值是▲・
【答案】巨。
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。
【解析】由AB・AF二逅,得|ABHAF|・cosZFAB=72,由矩形的性质,得
AF・cosZFAB=DF。
AB=\2,•\2•DF=\2,•:DF=1。•:CF=、'2—1。
记AE和BF之间的夹角为0,ZAEB=a,ZFBC=卩,则0=a+P。
又•・•BC=2,点E为BC的中点,・•・BE二1。
込(2-1)=v2
AE・BF=AE^BF卜cos0=|a^|bF・cosG+0)=|a^|bF・(cosacos0-sinasin0)
AEcosa・BF・cos0-AEsina・BFsin0=BE・BC-AB・CF=lx2-
本题也可建立以AB,AD为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。
(2012年江苏省5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上
f(x)=]bx+2
、x+1
0WxW1,
其中a
/1、
bgR•若f—=f
\2丿
则a+3b的值为▲・
答案】-10。
考点】周期函数的性质。
【解析】•・•f(x)是定义在R上且周期为2的函数,
・•・f(-1)=f(1),即-a+1=b^+2①。
2
・1b+4②
・・——a+1=②。
3
联立①②,解得,a==—4。•:a+3b=—10。
11.(2012年江苏省5分)设a为锐角,若
兀'
6丿
cosa+—
4'则sin(2a+挣的值为▲
【答案】也迈。
50
考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】•a为锐角,即0<a<—,・—<a+—<—+—=2
266263
兀1
4
3・
•cos
a——
=—,
・sin
a——
=—o••
V6J
5
V6丿
5
厂兀'
c
宀3
4
24
sin
2a+—
=2sin
a+—
cos
a+
=2•—・
—。
V3丿
V6丿
V
6丿
5
5
25
(、
-兀
cos2aH—
7
25
1兀、
兀
1兀)
sin
2a+—
coscos
2a+—
I3丿
4
L3丿
兀兀
sin(2a+)=sin(2a+-
123
.兀sin
4
3丿
24y'27込17
=—=2。
25225250
12.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系Oy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,
若直线y二kx-2
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值
是▲・
答案】
考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】•・•圆C的方程可化为:x-4匕+y2=1,・••圆C的圆心为(4,0),半径为1。
•・•由题意,直线y二kx-2上至少存在一点A(x,kx-2),以该点为圆心,1为
00
半径的圆与圆C有
公共点;
・•・存在xeR,使得AC<1+1成立,即AC<2。
0min
・・・AC即为点C到直线y二kx-2的距离土2,•雀2<2,解得mink2+1<k2+1
4
0<k<。
3
・•・k的最大值是4。
3
13・(2012年江苏省5分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,beR)的值域为[0,+a),若
关于x的不等式
f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为▲・
【答案】9。
【考点】函数的值域,不等式的解集。
【解析】由值域为[0,+8),当x2+ax+b=0时有△=a2-4b=0,即b=晋,
・•・f(x)=x2+ax+b=x2+ax+中=
2<c解得点<x+—<f,以-2<x<提-—
°・°不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),•:(\:c—―)—(―、:c—―)=2\-c=6,解得
^2^2
14.(2012年江苏省5分)已知正数a,b,c满足:5c—3aWbW4c-a,clnb三a+clnc,则
-的取值范围是▲•a
【答案】[e,7]。
【考点】可行域。
【解析】条件5c-3aWbW4c-a,cInb三a+clnc可化为:
cab、-
•+n5cc
ab八
+—<4
cc
ba
—>ec
设a=x
c
y=-,则题目转化为:
c
li
s(x)=5-3x
/(>;)=4-x
、c
3x+y>5
已知x,y满足<
,求Z的取值范围。
x
x+y<4
y>ex
x>0,y>0
作出(x,y)所在平面区域(如图)。求出y=ex的切线的斜率e,设过切点P(x0y0)的切线为y=ex+m(m>0),
则2a=£^削=e+巴,要使它最小,须m=0。x0x0x0
・兰的最小值在P(x0,y0)处,为e。此时,点P(x0,y0)在y=ex上A,B之间。x
x,y)对应点C时,
y=4-xy=5-3x
5y=20-5x
V
y=20-12x
.・・2的最大值在C处,为7。
x
・・・工的取值范围为[e,7],即b的取值范围是[e,7〕。xa二、解答题:本大题共6小题,,解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.(2012年江苏省14分)在AABC中,已知=3亦・BC・
求证:tanB=3tanA;
若cosC=竺,求A的值.
5
【答案】解:(1)vAB・AC=3BA・BC,・•・ABACcosA=3BA・BC・cosB,即
ACcosA=3BCcosB。
由正弦定理,得AC=BC,•:sinBcosA=3sinA*cosB。
sinBsinA
2)
•cosC=—,0<C<兀
5
5
・tanC=2。
・tan
「兀-(A+B)-]=2,即tan(A+B)=-2oAtanA+tanB=-2。匚」1一tanA*tanB
・sinC=
o
由(1),得書=-2,解得tanA=LtanA=-3
又T0<A+B<兀,•:cosA>0,cosB>0。・・血B=3・血A即卩tanB=3tanA。cosBcosA
TcosA>0,•:tanA=1。•:A=^。
4
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
【解析】(1)先将AB・AC=3BA・BC表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函
数关系式证明。
(2)由cosC=~~,可求tanC,由三角形三角关系,得到tan兀-(A+B)],从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。
(2012年江苏省14分)如图,在直三棱植BC-ABC中,AB=AC,D,E分别
1111111是棱BC,CC上的点(点D不同于点
C),且AD丄DE,F为BC的中点.
111
求证:(1)平面ADE丄平面BCCB;
11(2)直线AF//平面ADE.
1
【答案】证明:(1)TABC-ABC是直三棱柱,・°CC丄平面ABC。
1111
又・ADu平面ABC,••CC丄AD。
1
又TAD丄DE,CC,DEu平面BCCB,CC“DE=E,•AD丄平面BCCB。(lbylfx)
iiiiii
又TADu平面ADE,•平面ADE丄平面BCCB。
ii
(2)TAB=AC,F为BC的中点,•:AF丄BC。
iiiiiiiii
又TCC丄平面ABC,且AFu平面ABC,•CC丄AF。
iiiiiiiiii
又TCC,BCu平面BCCB,CC“BC=C,•:AF丄平面ABC。
iiiii1111iiii
由(1)知,AD丄平面BCCB,•AF〃AD。
iii
又TADu平面ADE,AF电平面ADE,•直线AF//平面ADE
ii
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】(1)要证平面ADE丄平面BCCB,只要证平面ADE上的AD丄平面BCCB即
iiii
可。它可由已知ABC-ABC是直三棱柱和AD丄DE证得。
iii
(2)要证直线AF//平面ADE,只要证AF〃平面ADE上的AD即可。
ii
(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,=kx-£(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关•炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
1)求炮的最大射程;
2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为千米,试问它的横坐标a不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
【答案】解:(1)在y=kx———(1+k2)x2(k>0)中,令y=0,得kx———(1+k2)x2=0。
2020
由实际意义和题设条件矢知>0,k>0。
...x_a°L=匸<却=10,当且仅当k=i时取等号。
1+k2172
+kk
.炮的最大射程是10千米。
(2)Va>0,.炮弹可以击中目标等价于存在k>0,使ka-—(1+k20=,20
即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根。
由A=(-20a)2一4a2C2+640得a<6。
It,20a^/(-20a)2-4a2(a2+64)十亠上厂
此时,k=>0(不考虑另一根)。
2a2
・••当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标。
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【解析】(1)求炮的最大射程即求y=kx-占(1+k2)x2(k>0)与x轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。
(2012年江苏省16分)若函数y=f(x)在x=x处取得极大值或极小值,则称x00为函数y=f(x)的极值点。
已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
求a和b的值;
设函数g(x)的导函数g,(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
设h(x)=f(f(x))-c,其中cg[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
【答案】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得f(x)=3x2+2ax+b。
V1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,
・•・f(1)=3+2a+b=0,f(-1)=3-2a+b=0,解得a=0,b=-3。
(2)V由(1)得,f(x)=x3-3x,
•:g'(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),解得x=x=1,x=一2。
123