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考 点
考纲解读
1
双曲线的定义
了解双曲线的定义,并能简单地应用.
2
双曲线的标准方程
了解双曲线的标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.
3
双曲线的简单几何性质
了解双曲线的简单几何性质,知道双曲线的有关性质,并能应用双曲线的简单几何性质解决有关问题,了解双曲线的一些实际应用.
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从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较 低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知 识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基 本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20 题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等 价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力.
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平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2 |)的点的轨迹叫作双曲线,这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦 点F1,F2间的距离叫做双曲线的焦距.
(1)定义的数学表达式为:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).
(2)在双曲线的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当|F1F2| <2a时,动点的轨迹是不存在的.
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(1)焦点在x轴上的双曲线标准方程 - =1(a>0,b>0),其中c2=a2+b2, 焦点坐标为(±c,0);
(2)焦点在y轴上的双曲线标准方程 - =1(a>0,b>0),其中c2=a2+b2, 焦点坐标为(0,±c).
确定一个双曲线的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的 位置)和两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法、待定系数法,有
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是:
第一,作判断:根据条件判断双曲线焦点在x轴上还是在y轴上,还是不 确定在哪个坐标轴上.
第二,设方程:根据上述判断,设为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>
0),或者mx2-ny2=1(mn>0).
第三,找关系:根据已知条件建立a,b,c或m,n的方程组.
第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求双曲线的标准 方程.
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焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
- =1
(a>0,b>0)
- =1
(a>0,b>0)
图形
范围
|x|≥a,y∈R
x∈R,|y|≥a
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对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
顶点(±a,0)
顶点(0,±a)
焦点
(±c,0)
(0,±c)
轴
实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e= ∈(1,+∞)
a,b,c的关
系式
c2=a2+b2
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一般而言:
①双曲线有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段 的中垂线.
②双曲线都有两个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.
③离心率反映双曲线开口的程度,当离心率越大,双曲线的开口越大.
④与双曲线 - =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程都可以表示为
- =λ(λ≠0),且其渐近线方程为 - =0;如果双曲线的渐近线为y
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=± x,则双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0)或(bx)2-(ay)2=λ(λ≠0).
设双曲线方程 - =1(a>0,b>0),直线Ax+By+C=0,
将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,
(1)若m≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点;
当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;
当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.
(2)若m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐 近线平行.
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