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2021/8/11星期三
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考 点
考纲解读
1
抛物线的定义
掌握抛物线的定义,并能简单地应用.
2
抛物线的标准方程
掌握抛物线的标准方程,能够根据条件利用待定系 数法求抛物线方程.
3
抛物线的简单几何性质
掌握抛物线的简单几何性质,会根据抛物线的标准 方程研究抛物线的性质,并能应用抛物线的简单几 何性质解决有关问题,了解抛物线的一些实际应用.
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从近两年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性 质,以及直线与抛物线的位置关系等是高考的热点,题型既有选择题 、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”,主要考查抛物线的定 义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、几何性质外,还 考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力 、综合分析问题的能力,如2011年安徽、江西、陕西、辽宁、福建 、浙江等地高考数学试题中均有抛物线的相关试题.
预测2013年高考仍将以抛物线的定义、性质,以及直线与抛物线的
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位置关系为主要考点,重点考查函数与方程、转化与化归、数形结 合思想等.
平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离相 等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线 的准线.
在抛物线的定义中,定点F不能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则 可得动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线.
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标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦点
( ,0)
(- ,0)
(0, )
(0,- )
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(续表)
说明:(1)抛物线的标准方程有四种类型,抛物线焦点所在直线为
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称性
关于x轴
关于y轴
顶点
原点O
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抛物线方程的一次项,抛物线方程的系数符号决定着抛物线的开口 方向;抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,抛物线和它的轴的交点叫做 抛物线的顶点.
(2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐 近线.
(3)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.
(4)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线.
(5)抛物线的离心率是确定的,且为1.
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设抛物线方程x2=2py,直线Ax+By+C=0,
将直线方程与抛物线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,
(1)若m≠0,当Δ>0时,直线与抛物线有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线只有一个公共点;
当Δ<0时,直线与抛物线无公共点.
(2)若m=0,则直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对 称轴平行.
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(1,1)和到定直线l:x+y=2的距离相等的点的轨迹为 (     )
(A)直线.     (B)抛物线.     (C)椭圆.     (D)不存在.
【解析】因为点A在l上,故动点轨迹是过A且垂直l的一条直线,所以 选A.
【答案】A
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2.(2011年陕西卷)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线 的方程是 (     )
(A)y2=-8x.     (B)y2=8x.
(C)y2=-4x.     (D)y2=4x.
【答案】B
【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),又∵其准线方程为x=- =-2,∴p=4,所求抛物线方程为y2=8x.
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