选修45不等式选讲.docx

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考大纲求:,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以
下不等式:
(1)|a+b|≤|a|+|b|;
(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.

(1)|
ax
+
|≤(
c
>0)和|
ax
+|≥
(
c
>0)型不等式的解法
b
c
b
c
|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c.
|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
(2)|
x
-
|+|
x
-
|≥(
c
>0)和|
x
-
|+|
x
-|≤(
c
>0)型不等式的解法
a
b
c
a
bc
法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,表现了数形联合思想;
法二:利用“零点分段法”求解,表现了分类议论思想;
法三:经过结构函数,利用函数的图象求解,表现了函数与方程的思想.

定理1:假如a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号建立.
定理2:假如a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-
c)≥0时,等号建立.
[自我检验]
.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)
若|x|>c的解集为R,则c≤0.(
)
(2)
不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为?.(
)
(3)
对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0
时等号建立.(
)
(4)
对|
a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|
时等号建立.(
)
(5)
对|
-|≤||+|
b
|当且仅当≤0时等号建立.(
)
ab
a
ab
答案:(1)×
(2)√
(3)×
(4)×
(5)√
|x-a|<1
的解集为(1,3),则实数a的值为________.
分析:由|x-a|<1,则-1<x-a<1,
∴a-1<x<a+1,∴a=2.
答案:2
|x+1|-|x-2|>k的解集为R,则实数k的取值范围为____________.
分析:∵||x+1|-|x-2||≤3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,
k<(|x+1|-|x-2|)的最小值,即k<-3.
答案:(-∞,-3)
(x)=|2-x|+|x-1|的最小值为________.
分析:∵|2-x|+|x-1|≥|2-x+x-1|=1,
f(x)min=1.
答案:1
|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.
分析:|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+2|y-2|+2=5.
答案:5
[典题1](2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于
6,求a的取值范围.
[听前试做](1)当a=1
时,
f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为
x-4>0,无解;
当-1<<1时,不等式化为
3-2>0,
x
x
2
<1;
解得<
3x
当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
2
所以f(x)>1的解集为,2.
3
x-1-2a,x<-1,
由题设可得f(x)=3x+1-2a,-1≤x≤a,
x+1+2a,x>a.
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个极点分别为
C(a,a+1),
22
△ABC的面积为3(a+1).

2a-1
,0,B(2a+1,0),
3
由题设得

22
3(a+1)>6,故

a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
含绝对值不等式的常用解法
基天性质法:对a∈(0,+∞),|x|<a?-a<x<a,|x|>a?x<-a或x>a.
平方法:两边平方去掉绝对值符号.
零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分
区间法脱去绝对值符号,将其转变为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转变为数轴上两点的距离求解.
(5)数形联合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图
象求解.
(2016贵阳模拟)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若对于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,务实数
a的取值范围.
解:(1)
不等式f(x)≤6,即|2x+1|+|2x-3|≤6,
1
x<-2,
∴①
-2x-1+?3-2x?≤6,
1
3
或③x
3
-≤
≤,
>,
或②
2x
2
2
2
x
+1+?3-2?≤6,
2+1+?2-3?≤6,
x
x
x
解①得-1≤
x
1
1
3
3
≤2,
<-,解②得-
≤
≤,解③得
<
2
2x
2
2x
即不等式的解集为[-1,2].
(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2
x+1)-(2x-3)|
=4,
即f(x)的最小值等于4,
∴|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.
故实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).
[典题2]
设不等式-
2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.
1
1
1
(1)
证明:
3a+
6b<4;
(2)
比较|1
-4ab|与2|a-b|的大小,并说明原因.
[听前试做](1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|
3,x≤-2,
=-2x-1,-2<x<1,
3,x≥1.
由-2<-2x-1<0,解得-1<x<1,
22
1
则M=-2,2.
111111111
所以a+b≤|a|+|b|<×+×=.
3
6
3
6
3
2
6
2
4
(2)由(1)得a2<1,b2<1.
44
因为|1-4ab|2-4|a-b|2
(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)
(4a2-1)(4b2-1)>0,
所以|1-4ab|2>4|a-b|2,
故|1-4ab|>2|a-b|.
证明绝对值不等式的三种方法
利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转变为一般不等式再证明.
利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.
转变为函数问题,利用数形联合进行证明.
11
已知x,y∈R,且|x+y|≤6,|x-y|≤4,
求证:|x+5y|≤1.
证明:∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
∴由绝对值不等式的性质,得
|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|
1
3|x+y|+2|x-y|≤3×6+2×4=1.
即|x+5y|≤1.
1
[典题3]设函数f(x)=x+a+|x-a|(a>0).
证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
[听前试做]
(1)证明:由>0,有
f
(
)=x+
1
+|
x
-|≥x+
1
-?x-a?
a
x
a
a
a

1
a+a≥2.
当且仅当“a=1”时等号建立.
所以f(x)≥2.
1
(2)f(3)=3+a+|3-a|.
1
当a>3时,f(3)=a+a,
由
f
(3)<5
5+21
.
得3<<
a
2
1
当0<a≤3时,f(3)=6-a+a,
由
f
(3)<5得
1+5
<
≤3.
2
a
综上,a的取值范围是
1+
5,
5+21
.
2
2
解决含参数的绝对值不等式问题,常将参数分类议论,将原问题转变为分段函数问题进行解决.
已知函数
f
(
x
)=|2
-1|+|2
x
+|,(
)=
+3.
x
agx
x
(1)当a=-
2
时,求不等式
f(
x)<g(x)的解集;
1
设a>-1,且当x∈-2,2时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解:(1)当=-2时,不等式
f
(
x
)<
( )化为|2
x
-1|+|2
x
-2|-
-3<0.
a
gx
x
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
1
-5x,x<2,
则y=1
-x-2,2≤x≤1,
3x-6,x>1.
,当且仅当x∈(0,2)时,y<(0,2).
1
当x∈-2,2时,f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
a1
所以x≥a-2对x∈-2,2都建立.
a4
故-2≥a-2,即a≤3.
4
从而a的取值范围是-1,3.
—————————————[讲堂概括——感悟提高]——————————————
[方法技巧]
1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax
b≤-c,而后依据a,b的值解出即可.
若c<0,则|ax+b|≤c的解集为?,|ax+b|≥c的解集为R.
2.|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式的解
法
:①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根;②将这些根按从小到大摆列,把实数集分为若干个区间;
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
因为|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与
x对应的点到a,b对应的点的
距离之和与距离之差,所以对形如
|
x
-|+|
x
-
|≤(
c
>0)
或|
x
-|-|
x
-
|≥(
c
>0)的
a
b
c
a
b
c
不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>g(x),|f(x)|
<g(x)(g(x)>
0)型不等式的解法
(1)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).
(2)|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x).
[易错防备]
在分类议论含多个绝对值的不等式时,分类应做到不重不漏;在某个区间上解出不等
式后,不要忘了与前提条件求交集.
1.(2016·沈阳模拟)设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x-4|>m对一确实数x均建立,务实数m的取值范围.
解:(1)当x≥4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得x>-5,所以x≥4.
1
当-2≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得x>1,所以1<x<4.
1
当x<-2时,f(x)=-x-5>0,得x<-5,
所以x<-5.
综上,原不等式的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).
(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,
1
当-2≤x≤4时等号建立,
所以m<9,即m的取值范围为(-∞,9).
2.(2016·南宁模拟)已知函数f(x)=|x-a|.
若f(x)≤m的解集为[-1,5],务实数a,m的值;
(2)当a=2且0≤t≤2时,解对于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).
解:(1)∵|x-a|≤m,∴-m+a≤x≤m+a.
∵-m+a=-1,m+a=5,
∴a=2,m=3.
(2)f(x)+t≥f(x+2)可化为|x-2|+t≥|x|.
当x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0,∵0≤t≤2,∴x∈(-∞,0);
tt
当x∈[0,2)时,2-x+t≥x,x≤1+2,0≤x≤1+2,
∵1≤1+t≤2,∴0≤t<2时,0≤x≤1+t,t=2时,0≤x<2;
22
当x∈[2,+∞)时,x-2+t≥x,t≥2,当0≤t<2时,无解,当t=2时,x∈[2,+
∞),
∴当0≤t<2时原不等式的解集为
-∞,
t
+1
;当t=2时x∈R.
2
3.(2016·辽宁联考)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
当m=7时,求函数f(x)的定义域;
若对于x的不等式f(x)≥2的解集是R,:(1)由题设知:|x+1|+|x-2|>7,
不等式的解集是以下不等式组解集的并集;
x≥2,
-1≤x<2,
x+1+x-2>7
或
x+1-x+2>7
x<-1,
或
-x-1-x+2>7,
解得函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(4,+∞).
不等式f(x)≥2,即|x+1|+|x-2|≥m+4,
x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
不等式|x+1|+|x-2|≥m+4的解集是R,∴m+4≤3,m的取值范围是(-∞,-1].
4.(2016·九江模拟)已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式

f(x)≤-1;
2
若存在实数a,使得不等式f(x)≥a建立,:(1)∵a=2,
1,x≤2,
f(x)=|x-3|-|x-2|=5-2x,2<x<3,
1,x≥3,
1
x≤2,
2<x<3,
x≥3,
1
1
1
∴f(x)≤-2等价于
或
或
1≤-2
5-2x≤-2
-1≤-2,
11
11
解得4≤x<3或x≥3,∴不等式的解集为
,+∞
.
4
由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,
∴若存在实数
x
,使得不等式
f
(
x
)≥
a
建立,则|
-3|≥,解得
a
3
≤,
a
a
2
∴实数a的取值范围是
3
-∞,2.
5.(2016·兰州模拟)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
若不等式f(x)≤6的解集为[-2,3],务实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数
n
使
f
(
)≤-
(-
)建立,务实数
的取值范围.
n
mf
n
m
解:(1)由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a,
a-6≤2x-a≤6-a,即a-3≤x≤3,
a-3=-2,∴a=1.
由(1)知f(x)=|2x-1|+1,令φ(n)=f(n)+f(-n),
1
2-4n,n≤-2,
则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=
1
1
4,-<n≤,
2
2
1
2+4n,n>2,
∴φ(n)的最小值为
4,故实数m的取值范围是[4,+∞).
6.(2016·郑州模拟)已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)
解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)
1
1
a的取值范围.
已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒建立,务实数
m
n
解:
(1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4.
当
x
2
-2-
+1<4,解得-
5
2
<-时,即-3
<<-;
3
x
x
4x
3
2
2
1
当-
3≤x≤1时,即
3x+2-x+1<4,解得-3≤x<2;
当x>1时,即3x+2+x-1<4,无解.
1
综上所述,x∈-4,2.
1111nm
+=+(m+n)=1+1++≥4,
mnmnmn
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=
2
2x+2+a,x<-3,
2
4x-2+a,-3≤x≤a,
2x-2-a,x>a,
x=-2时,g(x)max=2+a,要使不等式恒建立,
33
210
只要g(x)max=3+a≤4,即0<a≤3.
10
故实数a的取值范围为0,3.
第二节不等式证明的基本方法
考大纲求:,理解它们的几何意义,并会证明.
(1)
柯西不等式的向量形式:
|α|·|β|≥|α·β|.
(2)(
a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
(3)
?x1-x2?2+?y1-y2?2+
?x2-x3?2+?y2-y3?2≥
?x1-x3?2+?y1-y3?2(往常称为平
面三角不等式).
.
,会用数学概括法证明一些简单问题.
:(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于1的正
整数),认识当n为大于1的实数时贝努利不等式也建立.
、柯西不等式求一些特定
函数的极值.
:比较法、综合法、剖析法、反证法、放缩法.

作差比较法与作商比较法的基来源理:
作差法:a-b>0?a>b.
a
(2)作商法:b>1?a>b(a>0,b>0).

综合法:证明不等式时,从已知条件出发,利用定义、公义、定理、性质等,经过推理论证而得出命题建立,综合法又叫顺推证法或由因导果法.
(2)剖析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐渐追求使它建立的充分条件,直至所需
条件为已知条件或一个显然建立的事实(定义、公义或已证明的定理、性质等),从而得出要
.

先假定要证的命题不建立,以此为出发点,联合已知条件,应用公义、定义、定理、性
质等,进行正确的推理,获得和命题的条件(或已证明的定理、性质、显然建立的事实等)矛
盾的结论,以说明假定不正确,从而证明原命题建立,我们把它称为反证法.

证明不等式时,经过把所证不等式的一边合适地放大或减小,以利于化简,并使它与不
等式的另一边的不等关系更加显然,从而得出原不等式建立,这类方法称为放缩法.

数学概括法证明不等式的一般步骤:
证明当n=n0时命题建立;
(2)
假定当
=(
k
*
,且
k
≥
n
)时命题建立,证明
n
=
k
+1时命题也建立.
∈N
nk
0
综合(1)(2)
可知,结论对于随意
0
0
*
n≥n
,且n,n∈N都建立.

设
,,,均为实数,则(
a
2+
2)(
c
2+
2)≥(+
)
2,等号当且仅当
=
bc
时建立.
abc
d
b
dac
bd
ad
[自我检验]
.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)
用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假定为“a,b,c全不为0”.( )
(2)
若实数x、y合适不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.( )