文档介绍：第一节绝对值不等式
考纲要求：，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以
下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2．会
22
3(a＋1)>6，故
a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
含绝对值不等式的常用解法
基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|<a?－a<x<a，|x|>a?x<－a或x>a.
平方法：两边平方去掉绝对值符号．
零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分
区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图
象求解．
(2016贵阳模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数
a的取值范围．
解：(1)
不等式f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，
1
x<－2，
∴①
－2x－1＋?3－2x?≤6，
1
3
或③x
3
－≤
≤，
>，
或②
2x
2
2
2
x
＋1＋?3－2?≤6，
2＋1＋?2－3?≤6，
x
x
x
解①得－1≤
x
1
1
3
3
≤2，
＜－，解②得－
≤
≤，解③得
<
2
2x
2
2x
即不等式的解集为[－1,2]．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2
x＋1)－(2x－3)|
＝4，
即f(x)的最小值等于4，
∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5.
故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
[典题2]
设不等式－
2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
1
1
1
(1)
证明：
3a＋
6b＜4；
(2)
比较|1
－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
[听前试做](1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|
3，x≤－2，
＝－2x－1，－2＜x＜1，
3，x≥1.
由－2＜－2x－1＜0，解得－1＜x＜1，
22
1
则M＝－2，2.
111111111
所以a＋b≤|a|＋|b|＜×＋×＝.
3
6
3
6
3
2
6
2
4
(2)由(1)得a2＜1，b2＜1.
44
因为|1－4ab|2－4|a－b|2
(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
(4a2－1)(4b2－1)＞0，
所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，
故|1－4ab|＞2|a－b|.
证明绝对值不等式的三种方法
利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
11
已知x，y∈R，且|x＋y|≤6，|x－y|≤4，
求证：|x＋5y|≤1.
证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
1
3|x＋y|＋2|x－y|≤3×6＋2×4＝1.
即|x＋5y|≤1.
1
[典题3]设函数f(x)＝x＋a＋|x－a|(a>0)．
证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
[听前试做]
(1)证明：由>0，有
f
(
)＝x＋
1
＋|
x
－|≥x＋
1
－