高中数学圆锥曲线知识点总结.doc

文档介绍：该【高中数学圆锥曲线知识点总结 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【18】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学圆锥曲线知识点总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,假如某曲线C(看作合适某种条件的点的会集或轨
迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了以下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线
C的方程是f(x,y)=0
,则点P0(x0,y0)在曲线C上
f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上
f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线
C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点
P0(x0,y0)是C1,C2的交点
{f1
(x0,y0)
0方程组有n个不一样的实数解,两条
f2
(x0,y0)
0
曲线就有n个不一样的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
二、圆:
1、定义:点集{M||OM|=r},此中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在座标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆
的一般方程,圆心为(D,E)半径是
22

D2
E2
4F。配方,将方程
2
x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+D)2+(y+E)2=D2
E2-4F
2
2
4
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-D,-
E);
2
2
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的地址关系
已知圆心C(a,b),
半径为r,点M的坐标为
(x0,y0),则|MC|<r
点M在圆C内,|MC|=r
点M在圆C上,|MC|
>r点M在圆C内,此中|MC|=(x0-a)2(y0-b)2。
(4)直线和圆的地址关系:①直线和圆有订交、相切、相离三种地址关系:
直线与圆订交有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点;直线与圆
相离没有公共点。
②直线和圆的地址关系的判断:(i)鉴识式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直
AaBbC
线Ax+By+C=0的距离d
A2B2

与半径r的大小关系来判断。
三、圆锥曲线的统必定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不经过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。此中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆双曲线抛物线
,,F2的距
距离之和为定值离之差的绝对值为定值
2a(2a>|F1F2|)的点2a(0<2a<|F1F2|)的点的
与定点和直线的距离
定义的轨迹轨迹
相等的点的轨迹.

距离之比为定值e的离之比为定值e的点的
点的轨迹.(0<e<1)轨迹.(e>1)
点集:({M||MF1+|点集:{M||MF1|-|
轨迹条点集{M||MF|=点
MF2|=2a,|F1F2|MF2|.
件M到直线l的距离}.
<2a==±2a,|F2F2|>2a}.
图形
标
方准
程方
程
参
数
方
程
范围
中心
极点
对称轴

x2
y2
1(ab>0)
x2
y
2
1(a>0,b>0)
a2
b2
a2
b2
x
2pt2
(t为参数)
y
2pt
─axa,─byb
|x|
a,yR
x0
原点O(0,0)
原点O(0,0)
(a,0),(
─a,0),
(a,0),(
─a,0)
(0,0)
(0,b),(0,
─b)
x轴,y轴;
x轴,y轴;
x轴
长轴长2a,短轴长2b
实轴长2a,
虚轴长2b.
焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0)
x=±a
2
x=±a
2
x=-p
2
c
c
准线与焦点位于极点
准线准线垂直于长轴,且准线垂直于实轴,且在
双侧,且到极点的距
.
离相等.
焦距2c(c=a2b2)2c(c=a2b2)
离心率e=1
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为
x,离心率e2.
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做

2
2
与x
2
2
2
y2
2
y2互为共轭双曲线,它们具
a
b
a
b
2
2
有共同的渐近线:x
y
0.
b2
a2
⑸共渐近线的双曲线系方程:
x
2
y
2
0)的渐近线方程为x
2
y2
假如
(
0
a2
b2
a2
b2
双曲线的渐近线为x
y
0时,它的双曲线方程可设为
x2
y2
(
0).
a
b
a2
b2
【备注2】抛物线:
(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(p
2

,0),准线方程x=-p,张口向
2
右;抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-p
2

,0),准线方程x=p,张口向
2
左;抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,p),准线方程y=-p,张口向
22
上;
抛物线x2
=-2py
(
)的焦点坐标是(
0,-
p),准线方程y=p,张口向
p>0
2
2
下.
(2)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MFx0
p;抛
2
物线y2=-2px(p>0)
上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF
p
x0
2
(3)设抛物线的标准方程为
y2=2px(p>0),则抛物线的焦点到其极点的距
离为p,极点到准线的距离
p,焦点到准线的距离为p.
2
2
(4)已知过抛物线y2
=2px(p>0)
焦点的直线交抛物线于
、
B
两点,则线段
A
AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2)
,则弦长AB=x1
x2+p或
2p
2
p2
p
ABsin2
(α为直线AB的倾斜角),y1y2
p
,x1x2
4
,AF
x1
2(AF
叫做焦半径).
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:在分析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的地址或坐标轴的方向),点的地址,曲线的形状、大小、地址都不改变,不过只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的地址,这类坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
(3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是(x',y').设新坐标系的原点
O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则
x
x'h或
x'
x
h
y
y'k
y'
y
k
叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或极点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
方
程
(x-h)2
+(y-k)2
=1
a2
b2
椭圆
(x-h)2
+(y-k)2
=1
b2
a2
(x-h)2
-(y-k)2
=1
a2
b2
双曲线
(y-k)2
-(x-h)2
=1
a2
b2
(y-k)2=2p(x-h)
(y-k)2=-2p(x-h)

焦点
焦线
(±c+h,k)
x=±a2
+h
c
(h,±c+k)
y=±a2
+k
c
(±c+h,k)
x=±a2
+k
c
(h,±c+h)
y=±a2
+k
c
(
p+h,k)
x=-p+h
2
2
(-
p+h,k)
x=p+h
2
2

对称轴
x=h
y=k
x=h
y=k
x=h
y=k
x=h
y=k
y=k
y=k
抛物线
(x-h)2=2p(y-k)
(h,
p+k)
y=-p+k
2
2
(x-h)2=-2p(y-k)
(h,-
p+k)
y=p+k
2
2
六、椭圆的常用结论:
点P处的切线PT均分△PF1F2在点P处的外角.
PT均分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影

x=h
x=h
H点的轨
迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
若P0(x0,y0)在椭圆x
2
2
5.
2
y2
1上,则过P0的椭圆的切线方程是
a
b
x0x
y0y
1.
a2
b2
6.
若
P0
(x0,y0)
在椭圆x2
y2
1
外,则过
P0
作椭圆的两条切线切点为
1、
a2
b2
P
x0x
y0y
1.
P,则切点弦PP的直线方程是a2
b2
2
1
2
7.
椭圆
x2
y2
1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意
a
2
2
b
一点F1PF2
,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.
2
8.
椭圆x2
y2
1(>>
)的焦半径公式
a
2
2
a
b
0
b
|MF1|a
ex0,
|MF2|a
ex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆订交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个极点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥
NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的
极点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.

2
2
2
y21的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则
a
b
b2
b2x0
kOMkAB
a2,即KAB
a2y0
。
(x0,y0)在椭圆x
2
2
2
y2
1内,则被Po所均分的中点弦的方程是
a
b
x0xy0yx02
y02
;
a
2
b
2
a
2
b
2
【推论】:
2
2
1、若P0(x0,y0)在椭圆x2
y2
1
内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
a
b
x2
y2
x0xy0y
。椭圆
x2
y2
1
(a>b>o)的两个极点为
a2
b2
a2
b2
a2
b2
A1(
a,0)
,A2(a,0)
,与y轴平行的直线交椭圆于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨
迹方程是x2
y2
1.
a2
b2
2、过椭圆x2
y2
1
(a
>
0,
>
0)
上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补
a2
b2
b
的直线交椭圆于
B,C两点,则直线
BC有定向且kBC
b2x0
(常数).
2
y0
a
3、若P为椭圆x2
y2
1
(
>>
)上异于长轴端点的任一点
,F
1,
F2是焦
a2
b2
a
b
0
点,
PF1F2
,
PF2F1
,则a
c
tancot.
a
c
2
2
4、设椭圆x2
y2
1(
>>
0
)的两个焦点为
1、F2,P(异于长轴端点)
a2
b2
a
b
F
为椭圆上任意一点,在△PFF中,记
F1PF2
,
PF1F2
,
F1F2P
,
1
2
则有
sin
c
e.
sin
a
sin
5、若椭圆x2
y2
1(
a
>>
0
)的左、右焦点分别为
1、F2,左准线为L,
a2
b2
b
F
则当0<e≤
2
1
时,可在椭圆上求一点P,使得PF是P到对应准线距离
1
d与PF的比率中项.
2
6、P为椭圆x2
y2
1(>>)上任一点
,F
1,F2为二焦点,A为椭圆内一
a
2
2
a
b
0
b
定点,则2a
|AF2||PA|
|PF1|
2a
|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号
建立.
7、椭圆(x
x0)2
(y
y0)2
1与直线Ax
ByC
0有公共点的充要条件是
a2
b2
A2a2
B2b2
(Ax0
By0
C)2.
8、已知椭圆x2
y2
1(>>),
O
为坐标原点,
、为椭圆上两动点,
a2
b2
a
b
0
PQ
且OP
OQ.(1)
1
2
1
1
1
;
()
2+|OQ|2的最大值为
4a2b2
;
2
2
2
2|OP|
2
2
|OP||OQ|
a
b
a
b
a2b2
(3)SOPQ的最小值是a2b2.
9、过椭圆x2
y2
1(
a
>>
0
)的右焦点
F
作直线交该椭圆右支于
M,N
两
a2
b2
b
点,弦MN的垂直均分线交x轴于P,则|PF|
e.
|MN|
2
10、已知椭圆x2
y2
1(
a
>>
)
,A
、、是椭圆上的两点,线段
AB
a2
b2
b
0
B
的垂直均分线与x轴订交于点P(x0,0),
则a2
a
b2
x0a2
b2
.
a
11、设P点是椭圆
x2
y2
1
(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2
a
2
b
2
为其焦点记
F1PF2
,则(1)
|PF1||PF2|
2b2
.(2)
SPFF
b2tan
.
1
cos
1
2
2
12、设A、B是椭圆x2
y2
1
(
a
>>
)的长轴两端点,
P
是椭圆上的一
a
2
b
2
b
0
点,PAB
,
PBA
,
BPA
,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,
则有(1)|PA|
2ab2|cos
|.(2)
tan
tan
1
e2.(3)
SPAB
2a2b2
cot.
a2
c2cos2
b2
a2
13、已知椭圆x2
y2
1(
a
>
>)的右准线
l
与
x
轴订交于点
E
,过椭圆
a2
b2
b
0
右焦点F的直线与椭圆订交于
A、B两点,点C在右准线l上,且BC
x轴,
则直线AC经过线段EF的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆订交,则相
应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点
的连线必与焦半径相互垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之
比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦极点的内、外角均分线与长轴交点分别称为
内、外点.)
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦极点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比率中项.
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT均分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT均分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹
是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线订交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆
相切.(内切:P在右
支;外切:P在左支)
5、若P0(x0
,y0)在双曲线x2
y2
1(
>
0,b
>)上,则过P0的双曲线的切线
a
2
2
a
0
b
方程是x0x
y0y1.
a2
b2
6、若P0(x0
,y0)在双曲线x2
y2
1(>
0,b
>)外,则过
Po
作双曲线的两
a
2
2
a
0
b
条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0x
y0y
1.
a2
b2