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矩阵的k行和任意k列
的交叉点上的个元素,按原顺序排列成的k阶
定义1
行列式

称为A的一个k阶子行列式,简称A的k阶
子式。
当k阶子式为零(不等于零)时,称为k阶零
子式(非零子式)。
当时,称为A的k阶主子
式。
即为A的主对角线
如果矩阵A存在r阶非零子式,而所有的r+1
阶子式(如果有r+1阶子式)都等于零,则称矩
阵A的非零子式的最高阶数为r。
注意:由所有的r+1阶子式都等于零可推出所
有更高阶的子式都等于零。
矩阵A的非零子式的最高阶数等于矩
阵A的秩r(A)。
定理1
A的任何r+1行线性相关
再证A的任何r+1阶子式均为零:
r+1阶子式
r+1阶子式的行线性相关
为零
2)矩阵的秩
=矩阵的行秩
=矩阵的列秩
=矩阵的非零子式的最高阶数。
1)初等变换不改变矩阵秩;
综上所述,关于矩阵的秩的基本结论是:
若存在可逆矩阵P、Q,使得
PAQ=B
就称矩阵A相抵于(或称等价于)B,
最后我们讨论,一个秩为r的矩阵通过初等变
换化为怎样的最简单的矩阵?也就是矩阵的相抵
标准形(或说等价标准形)。
定义2

记作
根据定义,容易证明矩阵的相抵关系有以下性质:
1)反身性:即
2)对称性:即若
3)传递性:即若
联系到在第二章中我们曾得到的一个结论:
满足以上三点性质的关系一般称为等价关系。

矩阵的非零子式阶数与秩的关系;
矩阵的相抵标准形(或等价标准形)。
思考题解答:
答案(D)