文档介绍：第五节矩阵的非零子式·相抵标准型
矩阵的任意 k 行和任意 k 列
的交叉点上的个元素,按原顺序排列成的 k 阶
定义1
行列式

称为 A 的一个 k 阶子行列式,简称 A 的 k 阶
子式。
当 k 阶子式为零(不等于零)时,称为 k 阶零
子式(非零子式)。
当时,称为 A 的 k 阶主子
式。
即为A的主对角线
如果矩阵 A 存在 r 阶非零子式,而所有的 r+1
阶子式(如果有 r+1 阶子式)都等于零,则称矩
阵 A 的非零子式的最高阶数为 r。
注意:由所有的 r+1 阶子式都等于零可推出所
有更高阶的子式都等于零。
矩阵 A 的非零子式的最高阶数等于矩
阵 A 的秩 r(A) 。
定理1
证
设矩阵 A 的秩 r(A) = r
A有r个行线性无关
,
下面
先证 A 有 r 阶子式不等于零:
A1
A1有r个列线性无关
不等于零
A的任何r+1行线性相关
再证 A 的任何 r+1 阶子式均为零:
r+1 阶子式
r+1 阶子式的行线性相关
为零
2)矩阵的秩
=矩阵的行秩
=矩阵的列秩
=矩阵的非零子式的最高阶数。
1)初等变换不改变矩阵秩;
综上所述,关于矩阵的秩的基本结论是:
若存在可逆矩阵 P、Q ,使得
PAQ = B
就称矩阵 A 相抵于(或称等价于)B,
最后我们讨论,一个秩为 r 的矩阵通过初等变
换化为怎样的最简单的矩阵?也就是矩阵的相抵
标准形( 或说等价标准形) 。
定义2

记作
根据定义,容易证明矩阵的相抵关系有以下性质:
1) 反身性:即
2) 对称性:即若
3) 传递性:即若
联系到在第二章中我们曾得到的一个结论:
满足以上三点性质的关系一般称为等价关系。
若A为矩阵,且r(A)=r,则一定存在
定理2
其中为r阶单位矩阵。
称右端为为A的相抵标准形(或等价标准形)。
任意两个同型矩阵是相抵的充要条件
容易证明:
是它们有相同的秩。
可逆矩阵P(m阶)和Q(n阶),使得
三. 小结
矩阵的非零子式阶数与秩的关系;
矩阵的相抵标准形(或等价标准形)。