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第二章 函数、导数及其应用
第1讲函数及其表示
一、必记3个知识点
函数
映射
两集合
A,B
设A,B是两个非空数集
设A,B是两个非空集合
对应
关系
f:A→B
如果按照某个对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B是一个映射
(1)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A},值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法.
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,,但它表示的是一个函数.
二、必明3个易误区
,易忽视“定义域优先”的原则.
“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不是数集,则这个映射便不是函数.
.
三、必会4个方法
求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的范围;
2/24信心+细心
(4)解方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程求出f(x).
考点一
函数与映射的概念
,表示同一函数的是( )
=x-1与y= =与y=
=4lgx与y=2lgx2 =lgx-2与y=lg
考点二
函数的定义域问题
角度一 求给定函数解析式的定义域
=ln+的定义域为________.
角度二 已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域
(x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域
考点三
求函数的解析式
[典例] (1)已知f=x2+,求f(x)的解析式;
(2)已知f=lgx,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
[针对训练]已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
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考点四
分段函数
[典例] (1)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为( )
A.-3 B.-1或3
D.-3或1
(2)已知函数f(x)=则f=________.
课后作业
[试一试]
=ln(1-x)的定义域为( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
(x)=则f(f(10))=( )
[练一练]
(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则f(x)等于( )
A.-2x+--+7
(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,则f(x)=________.
做一做
,与函数y=定义域相同的函数为( )
= ===
2.(2014·广州调研)已知函数f(x)=则f的值是( )
.-9 D.-
=(x+1)0+ln(-x)的定义域为________.
(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)=________.
:
(1)f(x)=与g(x)=表示同一个函数.
(2)f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数.
(3)若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
其中正确判断的序号是________.
=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是( )
4/24信心+细心
:x→y=:x→y=:x→y=:x→y=x
(x)=的定义域是( )
A.{x|x≠-} B.{x|x>-}
C.{x|x≠-且x≠1} D.{x|x>-且x≠1}
(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)>2x+5.
第2讲函数的单调性与最值
一、必记3个知识点
、减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则有:
(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2);
(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2).
若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
②存在x0∈I,使得f(x0)=M
②存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
二、必明2个易误区
,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.
(x),g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x),等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比.
三、必会2个方法
5/24信心+细心
(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论;
(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数;
(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判断函数单调性.
(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.
考点一
求函数的单调区间
(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
考点二
函数单调性的判断
[典例] 试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
[针对训练]
判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性.
考点三
函数单调性的应用
角度一 求函数的值域或最值
6/24信心+细心
(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)在R上是减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
角度二比较两个函数值或两个自变量的大小
(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )
(x1)<0,f(x2)<0 (x1)<0,f(x2)>(x1)>0,f(x2)<(x1)>0,f(x2)>0
角度三 解函数不等式
(x)是增函数,则满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是________.
角度四 求参数的取值范围或值
(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2) .(-∞,2]D.
[试一试]
,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
=ln(x+2) =-
=x =x+
(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________.
[练一练]
,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
= =e-=-x2+=lg|x|
(x)=在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________.
做一做
,在(0,+∞)上为增函数的是( )
(x)=3-x (x)=x2-3x
(x)=- (x)=-|x|
(x)=|x-2|x的单调减区间是( )
A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+∞)
(x)为R上的减函数,若m<n,则f(m)______f(n);若f<f(1),则实数x的取值范围是________.
7/24信心+细心
(x)=x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
(x)=在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数a的取值范围.
⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )
A.-
(x)对任意的正实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,则一定正确的是( )
(4)>f(-6)(-4)<f(-6)(-4)>f(-6) (4)<f(-6)
第二章 函数、导数及其应用
第3讲函数的奇偶性及周期性
一、必记2个知识点
奇偶性
定 义
图像特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
二、必明3个易误区
,.
(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0).
,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的.
三、必会2个方法
(1)定义法:
8/24信心+细心
(2)图像法:
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(2)若f(x+a)=,则T=2a;
(3)若f(x+a)=-,则T=2a.(a>0)
考点一
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=+;(2)f(x)=+;
(3)f(x)=3x-3-x;(4)f(x)=;
(5)f(x)=
考点二
函数奇偶性的应用
[典例] (1)(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=( )
A.-2
(2)已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.
一题多变:本例(2)中条件在区间[-2,0]上“递减”变为“递增”,试想m的范围改变吗?若改变,求m的取值范围
[针对训练]
(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为________.
=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是________.
考点三
函数的周期性及其应用
[典例] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( )
9/24信心+细心
[针对训练]
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
课后作业
[试一试]
1.(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是( )
(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-.-
[练一练]
3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f,且f(1)=2,则f(2014)=________.
(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f=( )
A.- B.-.
5.(2014·大连测试)下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )
=- =log2|x|
=1-x2 =x3-1
(x)=x3cosx+(a)=11,则f(-a)=________.
(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.
[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( )
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则:
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
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③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3.
其中所有正确命题的序号是________.
第二章 函数、导数及其应用
第4讲函数的图像
一、必记2个知识点
其基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);
最后:描点,连线.
(1)平移变换:
y=f(x)y=f(x-a);y=f(x)y=f(x)+b.
(2)伸缩变换:
y=f(x)y=f(ωx);y=f(x)y=Af(x).
(3)对称变换:
y=f(x)y=-f(x);y=f(x)y=f(-x);
y=f(x)y=-f(-x).
(4)翻折变换:
y=f(x)y=f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.
二、必明2个易误区
,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则,写出每一次的变换所得图像对应的解析式,这样才能避免出错.
,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系.
三、必会2个方法