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、乙两台自动车床,生产同一种零件,生产1000件产品所出的次品数分别用,,
,表示,经过一段时间的考察,知,,,的分布律如下:
0123012,,
。
解:因为E=0,+1,+2,+3,=;,
E,=0,+1,+2,=。故就平均来说,甲机床要优于乙机床。,的概率密度为
a,kxxka010,,,(,)fx(),,0其它,又知E,=,求k,a之值。
k,,,,afxdxkxdx(),1,即,1,?,1,,,,,,a,1解:首先由密度函数性质知;
k,,,,a,1xfxdxkxdx(),,即,1,?,,,,,,,a,2又E=,即有;,
由上述两式可求得k=3,a=2。
,的分布律为
-1023,
p1/81/43/81/422求E,,E(3,-2),E,,E(1-,)。
解:E,=(-1),(1/8)+0,(1/4)+2,(3/8)+3,(1/4)=11/8;22222E,=(-1),(1/8)+0,(1/4)+2,(3/8)+3,(1/4)=31/8;22222E(1-,)=(1-(-1)),(1/8)+(1-0),(1/4)+(1-2),(3/8)+(1-3),(1/4)=17/8222或者,E(1-,)=E(1-2,+,)=1-(E2,)+E,=17/8。
1,||xfxe(),,的概率密度为。求(1)E,,(2)E,。
1,|x|,E,,xedx,-|x|-|x|,,2解:(1)中因e为偶函数,x为奇函数,故xe为奇函数,且积分区
间关于原点对称,该积分又绝对收敛,事实上
1,,,,||xx,,|x|f(x)dx,|x|edx,xedx,,(2),1,,,,,,0,,,,2
故E,=0。
1,,,2||2,x,x,22,xedx,xedx,,(3),2!,2,,E,,xf(x)dx0,,,,,2(2)。,的概率密度为
2x,,2,2,Axex,0fx()(),,,0,
,x,00,求(1)确定系数A;(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少,
2x,12,,,,2,fxdx,即Axedx,?A,()1,1,,,2,,,,,解:(1)由密度函数性质知,
2x,,x22,,e,x0,,f(x),2,,,0,x0.,,即
222xxx,,,,,x222,,,,,,222,,,,()[]E,xfxdx,xedx,,xe,,edx,,,002,,0,(2)
x2(),,,x,,2,2()2,,,,,,,ed,0222,,
22xx,,,,x22,,,,/422,,,,P{,E},edx,[,e],e,,2,,,,22。
,其总长度为此二部件长度之和,这两个部件的长度,和,为两个相互独立的随机变量,其分布律如下表:
9101167,,
试求E(,+,),E(,,)。
解:因为E,=9,+10,+11,=,E,=6,+7,=,
故E(,+,)=E,+E,=+=;
又,和,为两个相互独立的,因此有E(,,)=E,?E,=,=。
(,,,)的联合概率密度为
40101xyxy,,,,,fxy(,),,0其它,22试求E(,+,)。
,,,,112222(x,y)f(x,y)dxdy,(x,y)4xydxdy,122,,,,,,,,00解:E(,+,)=。
,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以,表示停车的次数,求E,(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车是相互独立的)。
0,在第i站没有人下车,,,,,i1,在第i站有人下车.,解:引入随机变量
,,,,,,?,,1210易知,,现在求E,
由题设,任一游客在第i站不下车的概率为9/10,因此,20位游客都不在第i站下车的2020概率为(9/10),在第i站下车的概率为1-(9/10)。也就是
2020i,1,2,?,10P{,=0}=(9/10),P{,=1}=1-(9/10)(),因此,ii
20i,1,2,?,10E,=1-(9/10)()。i
20,,E(,,,,?,,),E,,E,,?,E,,10,(1,(9/10)),,=E(次)
,度量,而,且在[a,b]上服从均匀分布,试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。
解:由于服从[a,b]上的均匀分布,因此的分布密度为,,
1,,a,x,b,,,E,(b,a)/2,f(x),b,a,2,0,其它D,,(b,a)/12.,2而圆的周长L=,,,圆的面积A=,,/4,故有
,(a,b)/2EL=E(,)=,E=,,,
222,(b,a)/12DL=D(,,)=,D,=;
1,,,b2222E,xdx,(a,ab,b),,2a44b,a12EA=,,/4=,
11b4432234xdx,(a,ba,ba,ba,b)4,aE,b,a5又=,因此
22,,,,22224222E(),[(a,ab,b)],E,(a,ab,b),,2241216144DA=EA-(EA)=
221,,432234222,(a,ba,ba,ba,b),(a,ab,b)165144=
2,222,(b,a)(4a,7ab,4b)720
,,,相互独立,其概率密度分别为:
,xx01,,
,,y,ey,fx(),212,,,xx0,,fy(),,,,0其它0其它,,,
试求E(,,),D(,+,)。
,,122E,,xf(x)dx,xdx,x(2,x)dx,1,,,,,,01解:因为,
,,122232E,,xf(x)dx,xdx,x(2,x)dx,7/6,,,,,,01,
,,,,y,E,,yf(y)dx,yedy,1,,,0,,,
,,,,222y,E,,yf(y)dx,yedy,2,,,0,,,
又,与,是独立的,故有E(,,)=E,,E,=1,1=1;
2222[E,,(E,)],[E,,(E,)],7/6,1,2,1,7/6D(,+,)=D,+D,=。,与,相互独立,且E,=E,=0,D,=D,=1,求E(,+,)。22222解:E(,+,)=E(,+2,,+,)=E,+2E(,,)+E,,又,与,相互独立,因此
2222E,,(E,),?E,,D,,(E,)E(,,)=E,,E,,而D,=,
22E,,D,,(E,)同理22222故有E(,+,)=E(,+2,,+,)=E,+2E,,E,+E,
22D,,(E,)D,,(E,)=+2E,,E,+=1+1=2。
2,axbxcx,,,,01fx(),,0其它,
且已知E,=,D,=,求系数a,b,c。
,,12f(x)dx,1(ax,bx,c)dx,1,即a/3,b/2,c,1,,,,0解:因为,即有?
12x(ax,bx,c)dx,,即a/4,b/3,c/2,,0又E=,故?,2又E,=,D,=,因而E,=,因此
122x(ax,bx,c)dx,,即a/5,b/4,c/3,,0?
解?、?、?组成的方程组,解得a=12,b=-12,c=3。
,有分布函数
,,x,,,1,0,ex,F(x),0,其它.,
求E(2,+1),D(4,)。
解:先求,的分布密度函数
,,x,,,0,,exdF(x),,()fx,dx0,其它.,
11,,,,,,x,,x,,,,x,,,,E,xfxdx,xedx,,xe,e,()()||,,000,,,,故,
2,,,,222,x,,,E,xfxdx,xedx,(),,0,,2,,
122,,,D,E,E,()2,因此。从而有
162,12,,E(2,+1)=2E,+1=,D(4,)=16D,=。:当k=E,时,E(,-k)的值最小,且最小值为D,。2222解:E(,-k)=E[(,-E,)+(E,-k),=E(,-E,)+2E(,-E,)(E,-k)+E(E,-k)222=E(,-E,)+E(E,-k)=D,+E(E,-k),D,。2即当k=E,时,E(,-k)取得最小值D,。
,与,相互独立,不求出(,,)的分布,直接用,的分布和,的分布能否计算出
D(,,),怎样计算,22222解:因为,与,相互独立,故D(,,)=E(,,)-[E(,,)]=E(,,)-(E,E,)2222=E,E,)-(E,)(E,)。
,,试求发
生故障的元件数的方差。
,0,在第i个元件不发生故障,,,,i1,在第i个元件发生故障.,解:引入随机变量
,,,,,,?,,D,,,(1,),,,,故
,D(,,,,?,,),D,,D,,?,D,,10,,,。
,服从瑞利(Rayleigh)分布,其概率密度为
2x,,x22,,ex0,2fx(),(,,0),,
,x0,0,求E,,D,。
,,22xx,,,,2,,x222,,,,22,,,,,x,,xe,,edx2,2,,,,E,xfxdx,edx,,,,02,,,00解:,,
2,,x,,,,,,,,,x2,,,,,,,2,ed,,2,,,,,2,0,,22,,22xx,,,,2.,,,,,,22,,,,,x,,xe,,e2xdx2222,2,,,,E,.xfxdx,xedx,,,,02,,,00,,
,,2x,,.,2222,,,,2,e,2,,,,,0=
,4,,222222,,,,,,,,D,E,E,,,22?。,,,,,为相互独立的随机变量,且123
EEE,,,,,,92012,,123
222EEE,,,83401148,,,,,123
,,,,,,,25123试求:的数学期望和方差。
E,,E(,,2,,5,),E,,2E,,5E,,9,2,20,5,12,29123123解:,
22E,,E(,,2,,5,)123222,E,,4E,,25E,,E,,E,,10E,,E,,20E,,E,123121323
,83,4,401,25,148,4,9,20,10,9,12,20,20,12,947,
222D,,E,,(E,),947,29,106故。
(,,,)的联合分布律为
-101,
,
-11/81/81/8
01/801/8
11/81/81/8计算,,并判断,与,是否独立。,,
证明:由题得(,,,)的边际分布律各为
-101-101,,
p3/82/83/?p?p?p.,(i,j=1,2,3)故,与,不独立。
3323E,,xp.,(,1),,0,,1,,0,,ii888i,1又
3323E,,yp,(,1),,0,,1,,0,,,1
E,,,xyp,0,,,ijijij
Cov(,,,),E(,,),E(,),E(,),0,0,0,0?
,,0,,?,即,与,不相关。
(,)的联合概率密度为:,,
1,22xy,,1,fxy(,),,,
,其它0,试验证,和,是不相关的,但,和,并不相互独立。解:先求f(x),f(y):,,
212,,x12,,,dy1x,x1,,,2,1,x,,,,,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,,
2,2,,1y,y1,,,,,,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,,同理
显然,f(x,y),f(x)f(y),故,与,不独立。,,
2,,12,E,xf(x,y)dx,x1,xdx,0.,,,,,,1,又
2,,12,E,yf(y)dy,y1,ydy,0.,,,,,,1,21,11x,,,,,,,,Cov(,),E(),E(),E(),E(),dxxy,dy,0.,,2,1,,1x,故
,,Cov(,),,,0,,D,D,?,即,与,不相关。
(,,,)的联合概率密度为:
,1y,x,0,x,1f(x,y),,0其它,求:E,,E,,Cov(,,,)。
2,,,,,,11x2,,E,,xf(x,y)dxdy,xf(x)dx,xdydx,2xdx,,,,,,,,,,,,,,,0,0x解:?3,,,,,,1x,,E,,xf(x,y)dxdy,yf(y)dx,ydydx,0,,,,,,,,,,,,,0,x,,,,1x,,E(,,),xf(x,y)dxdy,xydydx,0.,,,,,,,,0,x
2Cov(,,,),E(,,),(E,)(E,),0,,0,0.?3
,和,,已知D,=25,D,=36,,=,计算D(,+,),D(,-,)。,,
D(,,,),D(,),D(,),2Cov(,,,)解:由于
,25,36,,,D,D,,,
,25,36,24,61,24,
故D(X+Y)=61+24=85,D(X-Y)=61-24=37。
:当,,,不相关时,有:
(1)E(,,)=E,?E,
(2)D(,?,)=D,+D,。
,,,,E(),(E)(E),,,,D,D,证明:(1)因为,由题知,,,是不相关的,故,=0,,,因此,有E(,,)=E,?E,。222222(2)D(,?,)=E(,?,)-[E(,?,)]=E[,?2,,+,]-[(E,)?2(E,)(E,)+(E,)]2222,=E,-(E,)+E,-(E,)?2(E,)(E,)2(E,)(E,)=D,+D,。
G,{0,x,1,0,y,x}(,,,)在。试求,。,,
G,{0,x,1,0,y,x}上服从均匀分布解:因为(,,,)在,故联合密度为
2,0,x,1,0,y,x,,f(x,y),,0,其它.,
2,,,,1x,,E,,xf(x,y)dxdy,2xdydx,,,,,,,,,,00?3
1,,,,1x,,E,,yf(x,y)dxdy,2ydydx,,,,,,,,,,,003
11x,,E(,,),xy,2dydx,,,,0,x4
111x1x2222,,,,E,,2xdydx,,E,,2ydydx,,,,,,000026222D,,E,,(E,),1/2,(2/3),1/18,222D,,E,,(E,),1/6,(1/3),1/18
,,,,EEE(),()()1/4,(2/3),(1/3)1,,,,,,2D,D,1/181/18?。(,,)的联合概率密度为
1,xy,|x|,1,|y|,1,f(x,y),4,
,0其它,22证明:,与,不独立,但,与,独立。
解:,与,的边际概率密度为
,1xy1,1,,dy,x1,,,,142,,,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,,
1,,,y1,,2,,,,,f(x)f(x,y)dy,,,,,,0,其它.,,同理
显然,f(x,y),f(x)f(y),故,与,不独立。,,
22,,,,,,,11令,则
2F(z),P{,,z},P{,,z},0,11当z?0时,;
2F(z),P{,,z},P{,,z},P{,z,,,z},11当0<z<1时,
1zz(),fxdx,dx,z,,,,,1zz2;
F(z),1,1当z?1时,,
1,,0,,1,z,2z,(),fz,,1,0,其它.,,故
类似地可求得,的分布密度函数为1
1,,0,,1,w,2w,(),fz,,1,0,其它.,,
令(,,,)的分布函数为F(z,w),则有11
当z?0,或w?0,易知F(z,w)=0;
当0<z<1,0<w<1时,
22F(z,w),P{,,z,,,w},P{,,z,,,w},P{,z,,,z,,w,,,w}11
1,xyzw,dxdy,zw,,,,zw4;
F(z,w),w/2当z?1,0<w<1时,;
F(z,w),z/2当0<z<1,w?1时,;
当z?1,或w?1,F(z,w)=1;
故(,,,)的联合分布密度函数为11
1,,0,,1,0,,1,zw,24zw,(,)Fzw,(,),,fzw,,,zw,0,其它.,,
f(z),f(w),f(z,w),,11因此有,即,,,是相互独立的。,,,为独立的随机变量,且都服从N(0,σ),记12
,,,,,,,,,,,,,,,,试求,112212,,12。
Cov,,E,,,E,,E,(,)()121212,,,,,,12D,D,D,D,1212解:?
E,,E(,,,,,),,E,,,E,,0;11212而
E,,E(,,,,,),,E,,,E,,0;2121222E,(,),E[(,,,,,)(,,,,,)],E[(,,),,,()]12121212
222222222,,,D,,,,D,,,,,,,,,,(,,,),1222222D,,D(,,,,,),,D,,,D,,(,,,),,11212
22222D,,D(,,,,,),,D,,,D,,(,,,),2121222222E,(,),E,,E,,(,,,),0,,,1212,,,,,,1222222(,,,),,,,D,D,12。,服从指数分布,其概率密度为
,,x,ex,,0fx()(,,0),,x,00,k试求k阶原点矩E(,)。
,,,,,,1,,kk,xk,xk,x,,,,xf(x)dx,x,edx,(,xe)|,kxedx,,,k00,,0解:E(,)=
kkk!k!,,12kxkxx,,,,,,,,,,,,,,,,,?,,,(xe)|(k1)xedx(e)|,0kk00,,,,