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归纳
在科学技术领域,对于好多力学问题和物理问题,人们已经获取了它们所应依照的基本方程
(常微分方程或偏微分方程)和相应的定解条件(界线条件)。但能够用解析方法求出精确解的可是少许方程性质比较简单,而且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实责问题,由于方程
的某些特点的非线性性质,或由于求解地域的几何形状比较复杂,则不能够获取解析的答案。这类问题的解决平时有两种路子。一是引入简化假设,将方程和几何界线简化为能够办理的状况,进而获取问题在简化状态下的解答。但是这类方法可是在有限的状况下是可行的,由于过多的简化可能以致误差很大甚至是错误的解答。所以人们多年来素来在致力于搜寻和发展另一种求解路子和方法——数值解法。特别是五十多年来,随着电子计算机的飞速发展和宽泛应用,数值解析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值解析方法能够分为两大类。一类以有限差分法为代表,主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其详尽解法是将求解地域划分为网格,尔后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程,当采用很多结点时,近似解的精度能够获取改进。但是当用于求解几何形状复杂的问题时,有限差分法的精度将降低,甚至发生困难。
另一类数值解析方法是第一成立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法,尔后再成立近似解法并求解。若是原问题的方程拥有某些特定的性质,则它的等效积分提法能够归纳为某个泛函的变分,相应的近似解法实质上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法,配点法,最小二乘法,伽辽金法,力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能限制于几何形状规则的问题,原因在于它们都是在整个求解地域上假设近似函数,所以,对于几何形状复杂的问题,不能能成立吻合要求的近似函数。
1960年,“TheFiniteElementMethodinPlane
StressAnalysis”,这同时也标志住有限单元法(FEM)的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解地域失散为一组有限个,且按必然方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不相同
的联系方式进行组合,且单元自己又能够有不相同形状,所以能够模型化几何形状复杂的求解域。
而且能够利用在每一个单元假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数,进而使
一个连续的无量自由度问题变成失散的有限自由度问题。
现已证明,有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式,进而使里兹法解析的全部理
论基础都适用于有限单元法,确认了有限单元法是办理连续介诘问题的一种宽泛方法。利用变分
原理成立有限元方程和经典里兹法的主要差别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是
在单元上规定的,而且早先不要求满足任何界线条件,所以能够用来办理很复杂的连续介诘问题。
在短短四十余年的时间里,有限单元的解析方法已经快速地发展为适合于使用各样种类计算
机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。现在,有限元宽泛地应用于各个学科门类,已经成
为工程师和科研人员用于解决实质工程问题,进行科学研究不能或缺的有力工具。有限单元法的
应用围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题,板壳问题,由静力平衡问题扩展到牢固问题,动
力问题和颠簸问题。解析的对象从弹性资料扩展到塑性,粘弹性,粘塑性和复合资料等,从固体
力学扩展到流体力学,传热学等连续介质力学领域。在工程解析中的作用已从解析和校核扩展到
优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。各样各样商业化的大型通用有限元软件层见迭出,不
断推出新。能够预示,随着现代力学,计算数学,计算机技术等学科的发展,有限单元法作为一
个拥有牢固理论基础和宽泛应用围的数值解析工具,必然获取进一步的完满和发展。
非线性问题的种类和求解特点
在有限元解析中的线性假设包括以下含义:即结点位移为无量小量,资料为线弹性,加载时界线条件的性质保持不变。于是,静力平衡方程能够表示为:
KU
R
()
其中,K为刚度矩阵,R为荷载矢量。由于
K和R的元素为常数,故位移响应
U是荷载
矢量R的线性函数。也就是说,若是
R变成
R,则U
变成
U,其中,
为常数。这
就是所谓的线性有限元解析。若是上述假设中的任何一条不能够获取满足,那么就属于非线性有限元解析。
结构力学问题,从实质上讲都是非线性的,线性假设可是实质工程问题的一种简化。自然,
任何实质工程问题的求解都防备不了适合地简化,简化可否合理主要应依照求解收效和实质经验
来判断。对于当前工程实质中的好多问题,如地震作用下结构的弹塑性动力响应,高层建筑抗风,
大跨度网壳结构动力牢固性,索膜结构找形荷载与裁汰解析,大型桥梁风致振动等问题的研究,
可是假设为线性问题是很不够的,经常需要进一步考虑为非线性问题。所以,对各样工程结构的
非线性解析就是必不能少且日趋重要了。对于结构力学的非线性问题来说,有限单元法是最为有
效的数值解析方法。
平时,把非线性问题分为两大类,即分为几何非线性和资料非线性。但从成立基本方程和程序设计的方便出发,又可分为三各种类:
:非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起,位移重量仍假设为无量小量,
故仍可采用工程应力和工程应变来描述,即仅资料为非线性。非线性的应力应变关系是结构非线
性的常有原因,好多因素都能够影响资料的应力应变性质,包括加载历史(如在弹塑性响应状况
下),环境状况(如温度),加载的时间总量(如在蠕变响应状况下)等。
:若是结构经受大变形,则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应,这又能够分为两种状况:
第一种状况,大位移小应变。可是物体经历了大的刚体平动和转动,固连于物体坐标系中的
应变重量仍假设为无量小。此时的应力应变关系则依照实质资料和实责问题能够是线性的也能够
是非线性的。
第二种状况,大位移大应变。也即最一般的的状况,此时结构的平动位移,转动位移和应变
都不再是无量小量,本构关系也是非线性的。
:除以上两种非线性问题之外,还有一种非线性问题,即由于系统刚度和界线条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。比方,一根只能拉伸的钢索可能是松弛
的,也可能是绷紧的;轴承套可能是接触的,也可能是不接触的;冻土可能是冻结的,也可能是融化
的。这些系统的刚度和界线条件由于系统状态的改变在不相同的值之间突然变化。状态改变也许和
载荷直接相关,也可能由某种外面原因引起。最为典型的就是接触问题,接触是状态非线性种类
中一个特别而重要的子集。平时状况下,状态非线性问题能够在上述资料非线性和几何非线性类
型中的每一种同时出现,进而使得问题的解析变得更为复杂。
非线性解析的基本问题是求出在当前荷载作用下的平衡状态。若是作用的荷载被描述成时间的函数,则物体有限元失散系统的平衡方程能够表示为:
tR
tF0
()
其中,矢量tR由t时刻外荷载的结点力重量所构成,而矢量
tF
则表示t时刻的单元应力所引
起的结点力重量。平衡方程
()应针对t时刻的几何位形成立,并应计入全部的非线性效应。如
果是动力解析,矢量
tR
中还应当包括惯性力和阻尼力。
在求解非线性问题时,
()式应在全部加载历史中成立。变量
t的引入其实不意味着必然是动
力问题。在静力解析中,t不拥有真实“时间”的含义,它的不相同取值可是表示相应于不相同位形的
不相同的荷载水平。但是,在动力解析或拥有时间效应的静力解析中,变量
t就有了它原来的“时
间”的含义。
对于好多工程结构,我们所关心的经常是在特定的荷载水平下,或相应的时间物体中的应力
和变形。实责问题依照其解法能够分为两大种类。第一类问题无需计算中间变形过程,可直接求
解在给定荷载下的平衡位形。但是,若是问题的几何性质或资料性质与路径相关或与时间相关,
即该问题依赖于变形历史,则中间变形过程的计算是不能缺少的,这就是第二类问题。从实质上
来说,非线性问题是第二类问题。此时,经常采用增量解析的方法。
增量逐渐解法的基本思想是:假设
t时刻的解为已知,要求
t+
t时刻的解,其中,
t是适
当选择的时间增量。在
t+t时刻,式()写成为:
ttR
ttF0
()
这里,左上标表示为t+t时刻的量。由于t时刻的解为已知,所以,能够写为:
ttF
tF
F
()
式中,
F表示t到t+
t时间间隔,由于单元应力增量所引起的结点力增量矢量。这一矢量可
以近似表示为:
F
tK
U
()
式中,t
K为相应于t时刻资料和几何条件的切线刚度矩阵。
U为
t时间间隔中的结点位移增
量,现在它还是未知的。将式()和()代入式()中,获取:
tKU
t
tR
tF
()
上式中只有位移增量
U
为未知,一旦解出,即可算得
t
t时刻的位移:
+
ttU
tU
U
()
依照ttU,就简单算出
t+
t时刻的应力及t
tF
,t
t
K,于是马上能够着手下一步的计
算。但要指出的是,式
()是一个近似表达式,所以
t+
t
时刻的解也是近似的,若是急于求成
的作下去,最后结果可能出现不能忽视的重要误差以致于达到荒诞的地步。解决这一困难的方法
是以开销计算时间为代价,即在
t到t+t
时步中进行足够次数的迭代,以保证最后的解获取足
够的精度。
-Raphson迭代格式的增量逐渐解法
现在更多采用的方法是在每一个荷载增量步中,使用
Newton-Raphson迭代法或修正的
Newton-Raphson迭代法。由于后者不需要每次迭代时都计算切线刚度矩阵,所以在实质中拥有更宽泛的应用。现对该方法做简单的介绍。
在t时刻到t+t时刻的时步中,修正Newton-Raphson法的迭代公式能够表示为:
t
K
U
i
t
t
R
ttF
t
tU
i
t
t
U
i1
U
i1
()
i
()
其中,i表示迭代步数,依次取
1,2,3,,其迭代所用的初始值正是
t时刻的解,即:
t
t
U0tU,
ttF0tF
()
式()的右端项:ttR
tt
F
i1
称为第i步迭代前的不平衡荷载。
在迭代过程中,ttFi1
随i的增加而逐渐凑近ttR。所以,我们可早先对不平衡荷载的模给定一个精度指标,每次迭
代后检查不平衡荷载可否小于该指标。若满足精度,则在求出
否则连续迭代,直到满足精度要求为止。
ttU此后转入下一时步的计算,
资料非线性问题的有限单元法
在全部的非线性解析问题中,资料非线性问题的办理相对简单,不需要重新列出整个问题的
表达格式,只要将资料本构关系线性化,即可将线性问题的表达格式实行用于非线性解析。一般
来说,经过试试和迭代的过程求解一系列线性问题,若是在最后阶段,资料的状态参数被调整得
满足资料的非线性本构关系,则最后可获取问题的解答。
资料非线性问题能够分为两各种类。一类是不依赖于时间的弹塑性问题,其特点是当荷载作
用今后,资料变形马上发生,而且不再随时间而变化。另一类是依赖于时间的粘(弹,塑)性问
题,其特点是荷载作用今后,资料不但马上发生变形,而且变形随时间连续变化。在荷载保持不
变的条件下,由于资料粘性而连续增加的变形称之为蠕变;另一方面,在变形保持不变的条件下,
由于资料粘性而使应力衰减称之为废弛。显然,后一类资料非线性问题在求解时更为困难一些。
限于篇幅,本文仅谈论最为常有的弹塑性非线性本构关系。弹塑性资料进入塑性的特点是当荷载卸去今后存在不能恢复的永久变形,所以在涉及卸载的状况下,应力应变之间不再存在独一的对应关系,这是差别于非线弹性资料的基本属性。以资料的单向受力状况为例,可是在加载时应力应变表现非线性关系,还不足以判断资料是非线性弹性还是弹塑性。但是一经卸载马上发生两者的差别,非线性弹性资料将沿原路径返回,而弹塑性资料将依照不相同的加载历史卸载后产生不相同的永久变形。
任何一种弹塑性资料都应当满足塑性力学的四条基本准则,这里对此作简单的介绍:
:规定了资料开始塑性变形的应力状态。在有限元解析中,
准则。
:规定塑性应变增量的重量和应力重量以及应力增量重量之间的关系。
:规定资料进入塑性变形后的后继信服函数。对于理想弹塑性资料,因无硬化效应,后继信服函数和初始信服函数一致;对于硬化资料,平时又有各向同性硬化准则,随动硬化准则和混杂硬化准则三种不相同的准则。
,卸载准则:用以鉴识从一塑性状态出发是连续塑性加载还是弹性卸载,这是计算
中判断可否连续塑性变形以及决定是采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系所必定的。各样种类的弹塑性资料能够从对各自的后继信服函数进行微分出发,进而推导出各自相应的
应力应变的增量关系,这里不一一列举。
需要进一步说明的是,对于处于高温条件下工作的结构,必定考虑温度对本构关系的影响。
比方随着温度的高升,屈曲极限有所降低,资料硬化特点也有所减少,并逐渐凑近理想塑性资料,
同时资料常数E,μ,α等也随温度变化而有所变化。至于长远工作在高温条件下的结构还必定
考虑蠕变的效应。
对于弹塑性资料,由于资料和结构的弹塑性行为与加载以及变形的历史相关。所以,在进行结构的弹塑性解析时,平时将荷载分成若干个增量,尔后对于每一荷载增量,将弹塑性方程线性化,进而使弹塑性解析这一非线性问题分解为一系列的线性问题。
依照这类思想,第一成立增量形式的荷载条件和位移条件,进而成立增量形式的虚位移原理,即增量形式的最小势能原理,最后即可获取基于增量形式的有限元表达格式。系统平衡方程形式
同前()式,其中切线刚度矩阵tK在这里是系统的弹塑性刚度矩阵。
弹塑性增量有限元解析在将加载过程划分为若干增量步今后,对于每一个增量步应包括以下三个算法步骤:
,并形成增量有限元方程。
。注意在求解过程中每个增量步或每次迭代时弹塑性刚度矩阵都可能发生局部的变化。
,决定新的应力状态,检查平衡条件,并决定可否进行新的迭代。
上述每一步骤的算法方案和数值方法,以及荷载增量步长的选择都关系到整个求解过程的稳
定性,精度和效率。这里特别需要注意的是非线性方程组求解方案的选择。
平时能够采用以下几种求解方案:无迭代的增量解法,拥有变刚度迭代
(N-R
迭代)的增量解
法和拥有常刚度迭代
(mN-R
迭代)的增量解法。变刚度迭代拥有优异的收敛性,
赞同采用较大的时
间步长,但每次迭代都要重新形成和分解新的刚度矩阵。而采用常刚度迭代能够节约上述计算费
用,缺点是收敛速度较慢,特别在凑近荷载的极限状况时,所以经常需要同时采用加速迭代的措
施。详尽采用何种求解方案,应依照详尽问题的特点,综合考虑精度和效率两方面因素。
对于除弹塑性之外的资料非线性问题,比方热弹塑性—蠕变问题,粘弹塑性问题等,由于同
时涉及独立于时间和依赖于时间的两类非弹性变形以及本构方程的高度非线性,无论是其本构方
程的成立和它的积分方法,还是非线性方程组的求解方法都远比平时的弹塑性解析困难得多。但
还是有好多共性的方面,这里不再张开详述。
几何非线性问题的有限单元法
在某一固体力学问题中,若是假设物体所发生的位移远小于物体自己的几何尺度,应变远小
于1,那么此问题就称作满足“小变形假设”。在此前提下,成立物体或微元体的平衡条件时能够不考虑物体的地址和形状(简称位形)的变化。所以解析中不用划分变形前和变形后的位形。同
时在加载和变形过程中的应变可用一阶无量小的线性应变进行胸襟。
但是在实质中,我们经常会遇到好多不吻合小变形假设的问题,比方板壳等薄壁结构的屈曲问题。此时必定考虑变形对平衡的影响,即平衡条件应成立在变形后的位形上,同时应变表达式也应包括位移的二次项。这样一来,平衡方程和几何关系都将是非线性的。这类由于大平动和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问题。几何非线性问题还有其他一各种类,比方金属的成型,橡皮型资料受荷载作用,都可能会出现很大的应变,这时除了采用非线性的平衡方程和几何关系之外,还需要引入相应的应力应变关系,尽管对于后一问题资料平时还处于弹性状态。自然大多数大应变问题是和资料的非弹性性质联系在一起的。这类几何非线性问题即平时所说的大平动,大转动,大应变问题。
初期几何非线性有限元解析基本上是线性解析的扩展,针对各个详尽问题分别进行解析。而
近来几年来,基于非线性连续介质力学原理的有限元解析获取很大发展,获取了一致的一般非线性分
析的表达格式。
基于非线性连续介质力学,第一应当对大变形状况下的应变和应力进行胸襟。这是由于在非
线性问题中,由于存在的大位移,大应变而以致有限变形,使得原来传统的小变形下的Cauchy
方程不再适用。此时,依照连续体在不相同的位形下坐标的变换,对变形前后物体上某一线段变形
的胸襟能够采用两种不相同的应变胸襟方式。即用变形前坐标表示的Green应变量和用变形后坐标
表示的Almansi应变量。在大变形问题中,是用从变形后的物体截取出的微元体来成立平衡方程
和与之等效的虚功原理的。所以,在从变形后物体截取出的微元体上面定义的应力量称为Euler
应力量。若是用于变形前的位形,能够详尽定义其他两种应力量:Lagrange应力量和Kirchhoff
应力量。其他,在连续介质力学中还定义了一种其重量不随资料刚体转动而变化的速率型应力量,
Jaumann应力速率量。
在涉及几何非线性问题的有限单元法中,
平时都采用增量解析的方法。
为了获取方程的解答,
全部的变量都应参照某一已经求得的平衡位形。在实质解析中,平时有以下两种选择:
(TotalLagrangeFormulation,),这类格式中全部变量以时间0的位形作为参照位形。
(UpdatedLagrangeFormulation,),这类格式中全部变量以时间t的位形作为参照位形。由于在求解过程中参照位形是不断改变的,所以称之为更新的
Lagrange格式。
由以上两种格式导出的求解方程在理论上是等效的,如若采用数学上相一致的本构关系,它
们将产生相同的结果。但在求解的有限元矩阵方程自己和求解步骤上仍有必然的差别。在通用的
有限元程序中,平时同时包括这两种格式,使用时能够依照所解析问题及资料本构关系的详尽特
点和形式选择最有效的格式。
为进一步说明非线性解析的特点,下表列出按非线性问题的不相同分类所采用的不相同描述方法
和应力应变。
表1非线性问题分类
解析种类
特
点
描述方法
仅资料
平动位移,转动位移和应变无量小,
仅资料非线性
非线性
应力应变关系是非线性的。
(.)
全Lagrange描述
大平动
线元的平动位移和转动位移充分大,
(.)
大转动
但线元的伸长和线元之间的角度改变无量小,
小应变
应力应变关系是线性的或非线性的。
更新Lagrange描述
(.)
全Lagrange描述
大平动
线元的伸长和线元之间的角度改变充分大,
(.)
大转动
线元的平动位移和转动位移也能够充分大,
更新Lagrange-Jaumann
大应变
应力应变关系是线性的或非线性的。
描述
(.)
应力和应变
工程应力
工程应变
Kirchhoff应力
Green应变
Cauchy应力
Almansi应变
Kirchhoff应力
Green应变
Jaumann应力率
Almansi应变率
对于几何非线性有限元的求解,一般采用等参元对求解域进行失散。.
都可应用,要点在于对求解方程的线性化办理。,都是基于线
性化办理后的虚位移原理成立的有限元矩阵方程,该矩阵方程仅是对于每一时间步长所应求解的
非线性方程的近似。由于系统的非线性性质,线性化办理带来的误差将可能以致解的漂移或不稳
定。所以,仍需采用基于Newton-Raphson迭代格式或修正Newton-Raphson迭代格式的增量逐渐
解法求解方程组。
在实质解析中,两种格式用于求解的时间一般状况下相差不多,终归选择哪一种格式平时取决
于所采用的本构关系的详尽形式。也就应当在求解之初便第一划分是大应变还是小应变,选择格
式已在表1中列出,此处不再详述。
和资料非线性问题对照,几何非线性问题有着更为复杂多样的荷载—位移路径,如在荷载控
制下的快速经过和位移控制下的快速经过。所以,荷载增量步长的自动选择就显得格外重要。近
些年来,宽泛应用的一类荷载增量步长的自动选择方法是“广义弧长法”。在广义弧长法中,用于
调治荷载增量和位移增量在弧长
L中作用的比率因子α对弧长法的整体性能有很大的影响。一
般采用的比率因子有:α=1
的球面弧长法,α=0的柱面弧长法,α=Sp的椭圆弧长法。对于不
同的结构和荷载状况,很难说以上α不相同取值的三种状况中哪一种拥有绝对的优势,但是α=
0
的柱面弧长法拥有较好的宽泛适应性。
杆索非线性有限元理论
在结构非线性有限元解析中,最为重要也最为基本的是成立精度适合的各样有限单元列式,
并在基于某些假设的基础上推导出其单元刚度矩阵和有限元求解方程。下由于当前的研究和应用
中已经出现了相当多的上述单元的理论和模型,限于篇幅并基于应用角度,每种单元仅选择一种
最为常用,精度也较高的单元加以介绍。
杆单元只能承受轴向力;
杆单元的应力应变关系吻合虎克定律;
杆单元位移变形为大位移小应变。
假设单元位移函数线性插值:
ui
1
ui1
ui2
()
L
L
t
ui,j
ui
1
1
ui1
tXj2
tX1j
tXj
L
1
()
ui2
L
在局部坐标系ξ中,应力应变关系为:
Eep
在局部和整体坐标系关系中,转轴时应力增量和应变增量的变换矩阵
T为:
T
l2
m2
n2
lmln
t
mn
式中:l,m,n是方向余弦。
由此可得:
TT
T
()
TEep
T
T
D
式中:
,表示局部坐标系下单元的应变和应力;
,表示整体坐标系下单元的应力和应变。
应变增量和位移增量的关系可用[B]矩阵表示,则有限元矩阵可表示为:
ttK0
[tBL
]T
[D][
tBL]tdV
V
ttKu[tBNL]T[SE][tBNL]tdV()
V
ttF
[tBL]T[E]dV
tV
式中:SE,σE分别为Kirchhoff应力矩阵和向量。
将积分式张开,获取线性刚度矩阵,非线性刚度矩阵和力项的矩阵表达式:
l2
lm
ln
l2
lm
ln
lm
m2
mn
lm
m2
mn
t
K0
ln
mn
n2
ln
mn
n2
t
l2
lm
ln
l2
lm
ln
lm
m2
mn
lm
m2
mn
ln
mn
n2
ln
mn
n2
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
ttKu
EA/L
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
ttF
EA1mnlmnt
按虚位移原理的矩阵列式为:
ttK0ttKuu
ttQttF
上式即为有限元基本方程。
索结构在大跨结构中已获取宽泛的应用。随着连续长索的不断应用,对于索力学模型的精度
要求也越来越高。初期的研究以解析法为基础,对较为简单理想的外荷载和界线条件作了解析。随着计算技术的提高,提出并采用了考虑大变形的各样失散模型,主要有:两节点直线杆单元模
型,以等效弹性模量来考虑垂度影响;两节点抛物线索单元模型,以及为了提高解析精度采用插
()
()
()
()
节点的多节点索单元(三节点,四节点,五节点索单元)模型和采用B样条基成立的索单元模型。
下面简要介绍悬链线索单元模型。
索为理想柔索,不受压且无波折刚度;
满足大变形,小应变要求;
索中外荷载沿索长均匀分布。
作几何非线性解析时,索单元的切线刚度可按下述方法计算。如图
1
中为一个索单元,其中
i点的位移是⊿1,⊿2,⊿3;j点的位移是⊿
4,⊿5,⊿6;节点力由原来的
0
1
02
,F
03
04
,
F
,F
,F
F
,F
增加到F,F,F,F,F,F。此时,节点力及节点位移间的平衡方程式以下:
05
06
1
2
3
4
5
6
F4F1F5F2
F6
F3
0L0(假设
0
)
lx
lx0
1
4
f(F1
,F2
,F3)
()
ly
ly0
2
5
g(F,F
2
,F
)
1
3
lz
lz0
3
6
h(F,F
2
,F)
1
3
图1弹性悬链线索单元切线刚度矩阵看法图
在全局坐标系里,悬索上的每一点沿坐标长度方向的微分值以下。若是把这些值整理成荷载
和变形的关系,即可已获取柔度矩阵([F]),而柔度矩阵的倒数就是刚度矩阵([K])。悬索结构的刚度其实不是一次性计算即可获取的,它是经过多次重复计算后,使方程式达到平衡状态时才能获取
精确的刚度值。
dlx=
fdF1+
fdF2+
fdF3
F1
F2
F3
dly
gdF1
gdF2
gdF3
()
F1
F2
F3
dlz
hdF1
hdF2
hdF3
F1
F2
F3
f
f
f
dlx
dF1
F1
F2
F3
f11
f12
f13
g
g
g
dly
FdF2,
F
f21
f22
f23
()
F1
F2
F3
dlz
dF3
f31
f32
f33
h
h
h
F1
F2
F3
dF1
dlx
dF2
Kdly
,
(KF1)
()
dF3
dlz
柔度矩阵的每个元素可按下式计算: