文档介绍：第二章预测类数学模型
本章重点:预测类数学模型的基本思想,掌握基本的数据拟合方法—多项式数据拟合,灰色预测模型等。
学****要求
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最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小,常用的方法有以下三种:一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值,即误差向量的∞—范数;二是误差绝对值的和,即误差向量r的1—范数;三是误差平方和的算术平方根,即误差向量r的2—范数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2—范数的平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0,1,…,m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是:对给定数据(i=0,1,…,m),在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小,即
=
从几何意义上讲,就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线(图6-1)。函数称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中,函数类可有不同的选取方法.
2—1
多项式拟合
所谓多项式数据拟合,主要是采用多项式函数形式来进行拟合、逼近数据所呈现出来的趋势。多项式的系数可以由最小二乘法计算出来。
假设给定数据点(i=0,1,…,m),为所有次数不超过的多项式构成的函数类,现求一,使得
(1)
当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(1)的称为最小二乘拟合多项式。特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数,因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件,得
(2)
即
(3)
(3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为
(4)
式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。
可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(4)中解出(k=0,1,…,n),从而可得多项式
(5)
可以证明,式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作
由式(2)可得
(6)
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步:
(1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图,确定拟合多项式的次数n;
(2) 列表计算和;
(3) 写出正规方程组,求出;
(4) 写出拟合多项式。
在实际应用中,或;当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。
*
定理1 设节点互异,则法方程组(4)的解存在唯一。
定理2 设是正规方程组(4)的解,则是满足式(1)的最小二乘拟合多项式。
* 多项式拟合中克服正规方程组的病态
在多项式拟合中,当拟合多项式的次数较高时,其正规方程组往往是病态的。而且:
①正规方程组系数矩阵的阶数越高,病态越严重;
②拟合节点分布的区间偏离原点越远,病态越严重;
③(i=0,1,…,m)的数量级相差越大,病态越严重。
为了克服以上缺点,一般采用以下措施:
①尽量少作高次拟合多项式,而作不同的分段低次拟合;
②不使用原始节点作拟合,将节点分布区间作平移,使新的节点关于原点对称,可大大降低正规方程组的条件数,从而减低病态程度。
平移公式为:
(9)
③对平移后的节点(i=0,1,…,m),再作压缩或扩张处理:
(10)
其中,(r是拟合次数) (11)
经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小,特别对于等距节点,作式(10)和式(11)两项变换后,其正规方程组的系数矩阵设为A,则对1~4次多项式拟合,条件数都不太大,都可以得到满意的结果。
变换后的条件数上限表如下:
拟合次数
1
2
3
4
=1
<
<
<435
 
④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式;另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵,从而避免了正规方程组的病态。
例1:世界人口预测问题
人类社会进入20世纪以来,在科学技术和生产力飞速发展的同时,世界人口也以空前的规模增长,。
世界人口统计数据
年份
1625
1830
1930
1960
1974
1987
1999
人口/亿
5
10
20
30
40
50
60
可以看出,人