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一、目标认知
学****目标:
,对函数看法领悟的深入程度
是学好函数知识
的重点,在学****过程中必定重重要地结合实例领悟引入函数看法的意义,紧紧地结
合实例领悟认识
常量、变量,理解函数的看法,领悟“变化与对应”的思想,认识函数的三种表示
方法(列表法、解
析式法和图象法)。认真不浮躁地落实基本知识和基本技术。
数学建模思想的领悟理解,从分析探究实质问题中的数目关系和变化规律出发,经历领悟“找出常
量和变量,建立并表示函数模型,谈论函数模型,解决实质问题”的每个过程细节,提升运用所学
知识分析解决问题的意识。
重点:
函数定义、分析式、自变量取值范围、函数的表示方法
难点:
运用函数定义辨析能否存在函数关系,分析详尽资料背景写出函数分析式及自变量取值
范围
二、知识重点梳理
知识点一:经过实例领悟变量、常量、函数的看法
1、汽车以
60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为
S千米,行驶时间为
t小时,请完
成下表:
t/
时
1
2
3
4
5
S/千米
60
120
240300
思虑:在上述变化过程中,有两个变量S、t,一个常量速度60,两个变量之间能否有
这样的关系:“当此中一个变量取定一个值时,另一个变量就有独一确立的值与之相对应
?”
答案必定:经过填表可以考据,当这里的两个变量中的任一个变量取定一个可以取的值时,另一个变量都有独一确立的值与之相对应。
2、每张电影票售价为
10元,早场售出
150张,日场售出
205张,晚场售出
310张,三
场电影的票房收入各是多少
?请完成下表,
时段
早场
日场
晚场
售出票数(张)
150
205
310
收入金额(元)
1500
2050
3100
思虑:在上述变化过程中,有两个变量:售出票数和收入金额,一个常量:单价
10,
两个变量之间能否有这样的关系:“当此中一个变量取定一个值时,
另一个变量就有独一确
定的值与之相对应?”
答案必定:经过填表可以考据,当这里两个变量中的任一个变量随意取定一个可以取的值时,另一个变量都有独一确立的值与之相对应。
3、在一根弹簧下端悬挂重物,弹簧原长
10cm,若每1kg重物使得弹簧伸长
,请
依据不一样的重量m,填写对应的弹簧长度
L
重量m/kg
1
2
5
8
10
弹簧长度L/cm
11
14
15
思虑:在上述变化过程中,有两个变量重量和弹簧长度,一些常量弹簧原长、单位重量
伸长的数值,两个变量之间能否有这样的关系:“当此中一个变量取定一个值时,另一个变
量就有独一确立的值与之相对应?”
答案必定:经过填表可以考据,当这里两个变量中的任一个变量随意取定一个可以取的
值时,另一个变量都有独一确立的值与之相对应。二者之间的关系为:
4、要画一个面积为S的圆,圆的半径r应取多少(保留两位小数)?请完成下表:
圆的面积(S)102050100300
圆的半径(r)
思虑:在上述变化过程中,有两个变量S、r,一个常量圆周率,两个变量之间能否有
这样的关系:“当此中一个变量取定一个值时,另一个变量就有独一确立的值与之相对应
?”
答案必定:经过填表可以考据,当这里两个变量中的任一个变量随意取定一个可以取的
值时,另一个变量都有独一确立的值与之相对应!二者之间的关系为:
5、用10m长的绳索围成长方形,依据长方形一边的长度,观察长方形的另一边的长度
和面积如何变化。请思虑完成下表:
长方形的一边长
x/m
3
4
2
1
长方形的另一边长
y/m
2
1
3
4
长方形的面积S/m2
6
4
6
4
思虑:在上述变化过程中,有三个变量长方形的一边长、另一边长、面积,一个常量长
方形的周长10,此中每两个变量之间能否都有这样的关系:“当此中一个变量取定一个值
时,另一个变量就有独一确立的值与之相对应?”
答案不必定:经过填表可以考据,每两个变量之间的关系可分两种状况:(1)一边长
与另一边长之间,此中任一个变量取定一个可以取的值时,另一个变量都有独一确立的值与
之相对应。二者之间的关系式为:y=5-x;(2)一边长与面积或另一边长与面积之间,此中
当前一个变量随意取定一个可以取的值时,后一个变量都有独一确立的值与之相对应。二者
之间的关系式分别为:S=x(5-x),S=y(5-y);但反过来不满足该规律,
时,长方形的一边长可以为:,不独一。
知识点二:函数的定义
在我们身旁的各种变化中,有各种变化的量和不变化的量,在两个变量之间有一种不是
必定存在的关系,但是特别广泛存在的关系就是:“当此中一个变量随意取定一个值时,另
一个变量都有独一确立的值与之相对应!”也就是说广泛的两个变量之间都存在互相对应的关系!
函数定义:
一般地,,并且对于x的每一个确立的值,
y都有独一确立的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independentvariale),y是
的函数(function),假如当x=a时y=b,那么b叫做当自变量为a时的函数值。
对于函数的意义,应从以下几个方面去理解:
(1)函数不是数,而是两个变量之间一种对应的关系;
(2)对于变量x同意取的每一个值,会集在一起构成了x的取值范围。
x
3)判断两个变量之间能否有函数关系不但要看它们之间能否有关系式,还要看对于
同意取的每一个
值,y能否都有独一确立的值与它相对应。
4)两个函数是同一函数最少具备两个条件:①函数关系式相同(或变形后相同);②自变量x的取值
范围相同。不然,就不是相同的函数。而此中函数关系式相同与否比较简单注意到,自变量x的取
值范围有时简单忽视,这点应注意。
知识点三:自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围。自变量的取值范围的确定方法:
第一,要考虑自变量的取值一定使分析式有意义。
⑴当分析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数;
⑵当分析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数;
⑶当分析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数;
⑷当分析式中含有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为零。
其次,当分析式表示实质问题时,自变量的取值一定使实质问题有意义。
知识点四:函数值
对于自变量在取值范围内的一个确立的值,比方当时,函数有独一确立的对应值,
这个对应值叫做的函数值,简称函数值。
注意:对于每个确立的自变量值,函数值是独一的,但反过来,可以不独一,即一个函
数值对应的自变量可以是多个。比方:
中,当函数值为
4时,自变量
的值为
。
知识点五:函数的几种表达方式:
变量间的单值对应关系有多种表示方法,常有的有以下三种:
1)分析式法:用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称函数的分析式。
注:函数关系式是等式;等式右侧的代数式中的变量是自变量,等式左侧的一个字母表
示自变量的函数;没有特别说明,自变量x的取值范围是使分析式有意义的全部实数。
2)列表法:函数关系用一个表格表达出来的方法,比方:前面的五个实例均是用列表法表示的函数;
3)图像法:用图象表达两个变量之间的关系。
注:有些问题可三种方法兼用,如S=60t,但有些问题只好用某一种方法,如每天的气温变化,只好用图象记录(自动测温仪)。
知识点六:函数的图象
对于一个函数,假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标
平面内由这些点构成的图形,就是这个函数的图象。
注:函数的分析式是一个二元方程,这个方程的解分别是这个函数图象上点的横坐标、
纵坐标;函数图象的画法:列表、描点、连线。
三、规律方法指导
,要注意区分常量与变量,函数与函数值等看法,比方:
,
是
随的变化而变化的量,变量
是变量
的函数,
2是常量;函数值是自变量所对应的某个
详尽数值,一个函数可能有好多不一样的函数值,比方当时,函数的函数值等于
;当时,函数的函数值等于。
,是研究函数的重要工具。
学****函数的图
象不但要认识它的一般意义和作法,更重要的是认识此中包含的数形结合地研究问题的思想,学****br/>如何使用这类工具谈论函数。
种类一:函数看法辨析
?
心电图中的变量:心脏脉冲电流值和时间
下表中所示变量:人口数和年份之间
思路点拨:要判断能否为函数关系,第一要找到两个变量,其次判断两个变量能否满足函数的定义。
解:存在函数关系,由于在(1)图中,在每一个时刻,心脏脉冲电流都有独一确立的值与该时刻相对应,(2)图中,对年份的每一个取值,都存在独一确立的人口数与之相对应。
总结升华:函数关系广泛存在。人们需要表达函数关系,上题所给的图示就是一种表达函数很好的方法,我们分别称之为:图象法和列表法。别的还有好多的函数,我们都可以经过一个二元关系式来表达,这类表达函数的方法称之为:分析式法。
贯穿交融:
[变式1]某工人每分钟生产机械零件
8个,写出这个工人生产零件的总数
y(个)与生
产时间
t(分)的关系式,判断是不是函数关系,并指出式中的常量与变量。
分析:每分钟生产零件
8个,在生产过程中该数值保持不变,
所以每分钟生产零件的个
数8是常量;而时间变化后零件总数可随之增添,则时间和生产的零件总数是变量。
解:,此中8是常量,y、t是变量。
[变式2]判断以下说法能否正确
(1)3x+l是x的函数;
?
(2)函数y=x与是相同的函数
若y是x的函数,则y的值必定随x值的改变而改变;
解:(1)说法正确,经过函数定义可以考据,对x的每一个确立取值3x+l都有独一确立
的值与之相对应;
说法不正确,尽管第二个函数经过化简以后分析式与第一个函数相同,但是它们自变量的取值范围是不一样的;
说法不正确,比方函数y=x0,随x的变化y的值恒定不变。
[变式
3]判断以下关系式和图象中,此中
y是不是
x的函数?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解:
(1)
,
y
是x
的函数,由于依据函数定义,对每一个
x的可取值
都存在独一确立的
y值与之相对应。相同依据函数的定义可考据
,y不是
x的函
数
(2)
只有第二个关系式
y不是
x的函
数,其他三个关系式y都是x的函数,原由同上;
(3)y是x的函数,原由同上;
(4)y是x的函数,原由同上;
(5)y不是x的函数,由于由图可以看出,有好多
x值都与两个
y值相对应。
[变式
4]用长为
10cm
的绳索围成一个长方形,此中长方形的一条边长是
xcm,这个长
方形的面积
2
Scm,判断填空:
这里_____是常量,_____是变量,变量间能否存在函数关系
?若存在,此中_____是_____
的函数,你能否能说明原由
?能否能选择合适的方法表达该函数关系
?
解:周长
10是常量,边长
x和面积
s是变量,面积是边长
x的函数,由于对于边长
x
的每一个取值,面积
s都有独一确立的值与之相对应,但反之不行立,即
x不是
s的函数,
用分析式法表达该函数关系:
s=x(5-x)
,此中
x的取值范围是
0<x<5.
思虑:若在上述函数分析式后不加上自变量
x的取值范围,函数分析式还能否完好表达
背景资猜中的函数关系呢
?
注:(1)当用分析式表达函数关系时,必定要关注自变量的取值范围;
确立自变量取值范围时,不但要考虑函数分析式有意义,并且还要注意问题的
实质意义;
商定:在我们今后所给定的函数分析式中,若没有特别说明,都默认自变量取值范围为使分析式有意义的全部实数。
种类二:自变量的取值范围
。
(1);(2);(3)
思路点拨:(1)要使分式有意义,则分母
。
,所以
;(2)要使被开方数
有意义,则,所以;(3)分母
解:(1)自变量的取值范围是的实数;
(2)自变量的取值范围是;
且
,则有
。
(3)自变量的取值范围是。
总结升华:自变量的取值范围一定使整个分析式有意义。
贯穿交融:
[变式]求函数的自变量的取值范围。
解:要使函数有意义,则x要吻合:
即:或
解方程组得自变量取值是或。
种类三:函数表示方法的理解
,(1)写成
y是
x的函数形式;(2)写成
x是y的函数形式。
用含
思路点拨:y是
的代数式表示
x的函数形式,就是用含的代数式去表示
,这即是函数的表示方法之一——分析式法,
,x是y的函数形式就是但要使函数分析式有意
义。
分析:(1)
由
可知
,又
,所以
。
综上得:
且。同理得:
且
由,去分母有:,移项得,
整理成y是x的函数为(且)。
(2)同理,写成x是y的函数为(且)。
总结升华:函数表示方法有三种:分析式法,图象法和列表法。当用分析式法表示时,
平时表示为y是x的函数,但x也可以是y的函数,只要满足函数的定义。
贯穿交融:
[变式1]写出以下函数关系式:
等腰三角形的底角的度数y°与顶角度数x°之间的关系为______;
(2)某礼堂共有25排座位,第一排有20个座位,后边每排比前一排多1个座位,则每
排座位数y与这排的
排数x的关系为_____·
解;(1)
(2)y=x+19(0
<x<26,且
x为自然数
)
[变式2]已知等腰三角形周长为12cm,若底边长为ycm,一腰长为xcm。(1)确立
与x的函数关系式;(2)确立x的取值范围;(3)画出函数图象。
分析:利用等腰三角形周长公式可以写出函数关系式,再利用两边之和大于第三边可以
确立x的取值范围,依据腰长与底长的列表可以画出图象。
y
解:(1)由于
,所以
。
(2)由于有
,所以
,即
;
又由于
,所以
,即
,
故自变量
x的取值范围是
。
(3)①列表:
x
3
4
5
6
y
6
4
2
1
0
②描点,画图(以以下图):
总结升华:要注意三边构成一个三角形的条件,即吻合两边之和大于第三边,防备出现
的错误。画函数图象时,平时界限值有时也可以取,一般是在范围内的点用实心
点,不在范围内的点用空心点。
种类四:函数值
,已知当时,,求当时x的值。
思路点拨:利用时可以先求出a值,再把a值代入时的
函数中,即可求出x的值。
解:依据题意有,则。
所以有,则。
总结升华:认识常量、变量、函数的意义,会分辨常量与变量,自变量与函数值之间的联系。
贯穿交融:
[变式1]求当时,函数的函数值。
分析:自变量x的值一准时,求函数值时只要把x的值代入分析式即可。
解:当时,有。
[变式2]已知函数,当x为什么值时,函数值是正数、0、负数?
分析:已知函数分析式,可分别令函数值为正数、0、负数,即可求x的值。
解:当y为正数时,即,则;
当y为0时,即,则;
当y为负数时,即,则。
所以当时,函数值为正数,当时,函数值为0;当时,函数值