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注意事项
,请将本试卷和答题卡一并交回.
,请务必将自己的姓名、.
、准考证号与本人是否相符.
,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
()
A. B.
C. D.
(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴是()
A. B.
C. D.
,那么的值为()
()
()
A. B.
C. D.
,集合,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
,,,则实数a的取值集合为()
A. B.
C. D.
,那么()
A. B.
C. D.
,如,设,若方程有且只有3个实数根,则正实数的取值范围为()
A B.
C. D.
,且对任意,,有,则使得成立的x的取值范围是()
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
.
,当时,,则时,__________
,且图像的两条相邻对称轴之间的距离为,求:
(1)函数的解析式;
(2)当,求函数的单调递减区间
,且,函数的图象过定点A,A在函数的图象上,且函数的反函数过点,则______.
,且的函数的解析式__________
(,,)的部分图象如图,则函数的单调递增区间为______.
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
,讲究茶叶茶水的口感,,空气的温度是,那么分钟后茶水的温度(单位:)可由公式求得,,放在的空气中自然冷却,10分钟以后茶水的温度是
(1)求k的值;
(2)经验表明,温度为的该红茶水放在的空气中自然冷却至时饮用,可以产生最佳口感,那么,大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?
(结果精确到,附:参考值)
.
(1)求的定义域;
(2)讨论的单调性;
(3)求在区间[,2]上的值域.
,且
(1)证明函数在上是增函数
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
,
(Ⅰ)当时,求;;
(Ⅱ)若,求实数的值
求常数k值;
若,试判断函数的单调性,并加以证明;
若已知,且函数在区间上的最小值为,求实数m的值
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】首先判断函数的奇偶性,再根据函数值的特征,利用排除法判断可得;
【详解】解:因为,定义域为,且,故函数为偶函数,函数图象关于轴对称,故排除A、D,当时,,所以
,故排除C,
故选:B
2、D
【解析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式,从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则函数解析式变为;
向左平移个单位得,
由余弦函数的性质可知,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,故对称轴为:,k∈Z,
k=1时,.
故选:D.
3、C
【解析】根据分段函数解析式求得.
【详解】因为,所以.
故选:C
4、B
【解析】对于A、B:由棱柱的定义直接判断;
对于C:由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等,即可判断;
对于D:由球的表面不能展开成平面图形即可判断
【详解】对于A:棱柱最少有5个面,则A错误;
对于B:棱柱的所有侧面都是平行四边形,则B正确;
对于C:正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等,则C错误;
对于D:球的表面不能展开成平面图形,则D错误
故选:B
5、A
【解析】利用中间量隔开三个值即可.
【详解】∵,
∴,又,
∴,
故选:A
【点睛】本题考查实数大小的比较,考查指对函数的性质,属于常考题型.
6、B
【解析】由题意得,
7、C
【解析】先解出集合A,再根据确定集合B的元素,可得答案.
【详解】由题意得,,∵,,
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
8、D
【解析】利用对数函数的单调性,即可容易求得结果.
【详解】因为是单调减函数,
故等价于
故选:D
【点睛】本题考查利用对数函数的单调性解不等式,属基础题.
9、A
【解析】由方程的根与函数交点的个数问题,结合数形结合的数学思想方法,作图观察y={x}的图象与y=﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围,即可得解.
【详解】方程{x}+kx﹣1=0有且只有3个实数根等价于y={x}的图象与y=﹣kx+1的图象
有且只有3个交点,
当0≤x<1时,{x}=x,当1≤x<2时,
{x}=x﹣1,当2≤x<3时,{x}=x﹣2,
当3≤x<4时,{x}=x﹣3,以此类推
如上图所示,实数k的取值范围为:
k,
即实数k的取值范围为:(,],
故选A
【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题,数形结合的数学思想方法,属中档题
10、A
【解析】解有关抽象函数的不等式考虑函数的单调性,根据已知可得在单调递增,再由与的图象关系结合已知,可得为偶函数,化为自变量关系,求解即可.
【详解】设,
在增函数,
函数的图象是由的图象向右平移2个单位得到,
且函数的图像关于直线对称,
所以的图象关于轴对称,即为偶函数,
等价于,
的取值范围是.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、解不等式问题,注意函数图象间的平移变换,考查逻辑推理能力,属于中档题.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11、
【解析】根据二次函数的性质,结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由,则开口向上且对称轴为,又,
∴,,故函数最大值为.
故答案为:.
12、
【解析】∵函数f(x)为奇函数∴f(-x)=-f(x)∵当x>0时,f(x)=log2x∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-log2(-x).
故答案为.
点睛:本题根据函数为奇函数可推断出f(-x)=-f(x)进而根据x>0时函数的解析式即可求得x<0时,函数的解析式
13、(1);
(2)和
【解析】(1)根据降幂公式与辅助角公式化简函数解析式,然后由题意求解,从而求解出解析式;(2)根据(1)中的解析式,利用整体法代入化简计算函数的单调减区间,再由,给赋值,求出单调减区间.
【小问1详解】
化简函数解析式得,因为图像的两条相邻对称轴之间的距离为,即,且函数最大值为,所以且,得,所以函数解析式为.
【小问2详解】
由(1)得,,得,因为,所以函数的单调减区间为和
14、8
【解析】由图象平移变换和指数函数的性质可得点A坐标,然后结合反函数的性质列方程组可解.
【详解】函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度,再向上平移3个单位长度得到,故点A
坐标为,又的反函数过点,所以函数过点,所以,解得,所以.
故答案为:8
15、(答案不唯一)
【解析】根据题意可知函数关于对称,写出一个关于对称函数,再检验满足即可.
【详解】由,可知函数关于对称,
所以,
又,满足.
所以函数的解析式为(答案不唯一).
故答案为:(答案不唯一).
16、
【解析】由函数的图象得到函数的周期,同时根据图象的性质求得一个单调增区间,然后利用周期性即可写出所有的增区间.
【详解】由图可知函数f(x)的最小正周期.
如图所示,一个周期内的最低点和最高点分别记作,
分别作在轴上的射影,记作,
根据的对称性可得的横坐标分别为,
∴是函数f(x)的一个单调增区间,
∴函数的单调增区间是,
故答案为:,
【点睛】,再利用函数的解析式和正弦函数的性质求得单调区间,但是直接由图象得到函数的周期,并根据函数的图象的性质求得一个单调增区间,进而写出所有的增区间,更为简洁.
三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)
(2)
【解析】(1)由解方程可得解;
(2)令,解方程可得解.
【小问1详解】
由题意可知,
,其中,
所以,
解得
小问2详解】
设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感,
由题意可知,,
令,所以,
,,
所以,