考研数学三模拟3试卷与解答.docx

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绝密★启用前
全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)
(科目代码:304)
(模拟试卷3)
考生注意事项
,考生须在答题纸指定位置写考生姓名、报考单位和考生编号。
,写在其他地方无效。
(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。
,将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。
全国硕士研究生入学统一考试
数学三(模拟3)
考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.
在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.
(1).设limx”与limy,均不存在,那么下列命题正确的是().
”一>8 /I—>00
(A)若lim(无〃+y〃)不存在,则lim(x〃-y〃)必也不存在
n—>oo
(B)若lim(x“+y”)存在,则lim(x“-y”)必也存在
〃一ko n—>ao
(C)若lim(x“+y”)与lim(x,-y”)均不存在
〃一>oo n—>oo
(D)若lim(x“+y”)与lim(x“-y”)中只要有一个存在,另一个必定不存在
〃一>oo
(2).下列广义积分收敛的是().
(A)
(C)
।+oO 1 >
ax
1Inx
t+oodx
°Jx(l+x)
⑹£
(D)总
°sinx
方程y'+4y=Icos2x的特解形式为
(D)
2
(A)acos2x;
(C)asin2x+bcos2x;
2Rft.
⑻
(D)
axcos2x;
axcos2x+bxsin2x
二次积分I=
2Ksin。 -2Rcos。
(A)2e网0/(rcos(9,rsin(9)rJr(B)2hd0i/(rcos^,rsin0)rdr,vr J”J2Rcos0
(C)Jode]。 /(rcos0,rsin0)rdr (D)£d6^f(rcos0,rsin0)rdr
0 设A是一个n阶矩阵,先交换A的第i列与第j列,然后再交换第i+1行与第,+1行得到的矩阵
记为B,现有下列五个关系:
(1)|A|=|B|;⑵r(A)=r(B);(3)A与B合同;⑷A与8相似;(5)A与B等价。则其中正确的有()o
(A)(1),(2) (B)(1),(2),(3)
(C)(1),(2),(5) (D)(1),(2),(3),(4),(5)
(6)设向量组(I):a,a,a,a,a均为4维列向量,A=(a,a,a,a,a),若〃=(-HQQ0)T,1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1
%=(0,L3,1,0)t,小=(1,0,5,1J)t是齐次方程组AX=0的一个基础解系,则向量组(I)的一个极大无关组是( ).
(A)a\,a2 (B)ai,ai (C)03,05 (D)ai,03,04
(7)设随机变量X〜印),记丫=11^{*,1},则E(Y)=( ).
(A)1
(B)1+e
(C)1-
(D)e
® 设两总体x与丫相互独立,均服从正态分布N(/b:),而…,汉,与匕黑…•,匕为x与
1 2 '2 2
y的简单随机样本,若样本均值与样本方差分别为片=-2Xj,sx=+E(x,-x)(广与5丫对
. 〃一1廿
(牙-¥)2
应九五,…,工的样本均值与样本方差),则统计服从的分布与系数C分别为( )
+Sy
(A)f(2〃-2), (B) —1),
2(n-1) n-1
(C)F(l,2(n-1)),— (D)F(l,2(n—1)),n.
n
二、填空题:(9)〜(14)小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中的横线上.
7171
⑨设y=y(x)由方程tan(x+y)—2sinx+ln(l+孙)=0确定,且yg( ,一)WJdy\=口.
22z―
⑴)设z=z(x,y)是由方程2sin(x+2y—3z)=x+2y—3z确定的二元隐函数,贝U
Zx+Zy= -
0D 设某商品的需求量Q=Q(x)为价格X的单调减的可导函数,若需求价格弹性与(1+5成正比
Q
(比例系数攵=1,Q>x2), 1 2 n
02)求极限lim(cos_+2cos_+…+〃cosj〃-►+<»nnn n
03)设A,3均为三阶方阵,且A与3相似,若矩阵方程*+2A-3E=O,r(A)=2,则行列式
\B2-2E\=Q.
⑭随机变量x与y相互独立且同分布n(4,L),则方差o(|x_y|)= .
三、解答题:15〜23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[e,x<0 /."rh
(15)(本小题满分10分)设f(x)={2 ,求极限lim]f(t)dt
\ex'-l,x>0 )
(16)(本小题满分10分)求函数/(x,y)=ef在区域。={(x,y)|f+4炉41}上的最大值和最小值.
皿,11
函数的最小值为/„in=/(土-j=,±-^=)=e4
(18)(本小题满分10分)计算
(17)(本小题满分10分)设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且/(0)=0,/(2)=:存在点自e(0/)、”(1,2),是得1/•《)+/'(〃)=针+炉.
1 X X
(19)(本小题满分10分)设曲线y二丁与直线y二-y=z—=在第一象限围成的图形面积为广〃(〃+1)
00
4"),〃为正整数.(I)求AS);(id令a“=A("),求数项级数“的和。
n=l
(20)(本小题满分11分)设A是3阶实对称矩阵r(A)=1,4=2是A的一个特征值,对应的一个特征向量。=(-111)。(I)求Ax=0通解;(H)求矩阵A.
(21)(本小题满分11分)已知三元二次型,(工,,,小)尸/4:经过正交变换%=〃化为标准形y:-y;+2y;. (I)求行列式|A*-2A"|;(II)求A3-2M—A+4E。
(22)(本小题满分11分)设(乂,丫)在6={。,丫)]/+>^1,丁20}上服从均匀分布,
, >1
Rnn,%>oi* -7
且u='o,x<o, r
1 io,x2+r2<-
I 4
(I)求(U,V)联合分布律;(II)讨论U与V的独立性求相关系数4v;⑴I)求E{min(U,V)}。
,[3 2
(23)(本小题满分11分)设总体x的密度函数为/(乂。)=!(/x,其中。〉o为未知参
[0,其他.
数,X1,X2,…,X”是来自总体X的样本,(I)求。的矩估计4;(II)。的最大似然估计;(III)求
统计量区的方差0(0).
数学三(模拟3)参考答案
2【解】二4 力收敛,答案为(B).
J。屁一]0
(3)【答案】r2+4=0,rl2=±2i,为单根acos2x,火=1,所以特解为(D)
4【答案】虽然区域关于y轴对称,由于被积函数f(x,y)的奇偶性未知,所以不能用对称性计算,
数学考研模拟试卷
该题作图,化极坐标即可,答案:(C)
9【解】由题设有E汩,j+ijAEij=B, 有些什么性质呢?
⑴|闻=-1,因而|Jij+JI闻=1,故
旨+5,|网同=网即网=跳
(2)因%卜0,故E"可逆,所以r(B)=r(Ei+i,j+ijAEij)=r(AEij)=r(A)„
(3)由0]说明了AwB(A与B等价)。
G)因E-;=E,故EAE=ET'AE=B,所以A与8不相似。
ijijz+IJ+iyiji+lj+ljij
(5)因£;=£尸,故EAE=EtAE=B,所以A与B不合同。
ijij/+1J+I;iji+ij+ijij
因此,选项(C)正确。
(6)【解】:由于〃一厂=3,则r=r(A)=2,即r(即4,。3,。4,%)=2,又由于如如必是方程AX=O的基础解系,则满足一。]+%=0,%+3。3+。4=°,«+5a3+%+。5=0,所以答案为(B).
⑺I解】由于指数分布的概率密度函数小)=」;’
x>0,x<0.
E(Y)=E(max{x,l})=jmax{x,l}f(x)dx=j
+QO
xe7dx=1+e''.应选(B).
+00
max
o
X-F n(X-¥-)2 ,
JT ~N(O,1), ~ZU).
7g 2b2
(n-l)S2 2 (zi-l)S2
又 *~Z(n-1),同理 7
O2 O~
〃(-—P)2
n n
2 (n-l)(S2+S2) 2
5-1),则 )一Y.-X(2n-2),
o2
、“…(X—F)2
4o2--2b2
(8)【解】由于~n(〃,2_),所以x-y~n(o,一),则
即(〃一1)(S44?) -F(l,2(n-l)),即。="s』+s2~:(1,2(〃-1)),其中
—I__^/2(n-l) xy
o
C=n. 答案:(D)
二、填空题:(9)〜(14)小题,每小题4分,.
9 【解】对原方程式两边同时求微分可得
2 1
sec(x+y)(dx+dy)-2cosxdx+ (xdy+ydx)=0,
\+xy
又方程式可知x=0时y=0,所以有dbi^dx。
e【答案】所给方程两边分别对x和y求偏导数得
l-3z;=0,
2-3z'=0,
Q'(x) Q'(x) f
t【解】由弹性定义知:7= ,所以 =一(1+—),
Q/x Q/x Q
由此可得:xdQ+Qdx=—x2dx,xQ(x)=—七+C,带人Ql)=1,
.. ^3 '
C=1
3
则Q=L(4-f)o
3 ,
【解】:lijn->+oo〃
(cos_+2cos_+・・・+ncos_
1"zz>
)=lim_2S-cos_=[xcos,xdx„->+«n^~nnJo
F=\
=fAz/sinx=xsinxl*—[sinxdx=sin1+cos1-1Jo 1°Jo
【解】由题设知,矩阵A特征值方别为:-3,0,1;又A与B相似,所以也是B的特征值,则
矩阵
8?-2E的特征值为:7,-2l1,所以行列式|fl2-2E|=14.+00 1
4 【解】:z=x-y〜mo,i)
£(|Z|2)=£(Z2)=D(Z)+(E(Z)2)=1,所以
£)(|X-y|)=D(|Z|)=l-
rY一
i-2_
2zr
三'解答题:15〜23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15【解】时,
f=[°/的力+「*1)力=1+fZ(/
-Jo J- J0 J0
且lim|
F IPI
/⑺df=lim{|l+J(e-l)drI
-<» ) x->0[I)。 )
手:,黯]
o(e-1)dzL
f(/-Dd<
Ju 、丁
(x-sinx)---
由于lim
(J-l)dr 2x(J-1)
Jo=lim
(x-sinx)~6x6
2x3
=lim
2(x—sinx)(1—cosx) '^°x—sinx
12cos(x+2y-3z)(l-3z:.)=l-3z;,⑴=
12cos(x+2y-3z)(2-32)=2-3z‘,⑵
lim =12,
D1—COSX
所以,lim
x-»0'
J |(.v-
1」(岫I
12e•
9 [解】I)区域D内:
由f(.x,y)="",f'(x,y)=-ye~xy=0,f'(x,y)=_"孙'=0,x y
可得用=%=0,所以入=/(0,0)=1:
2)区域£>的边界/+4尸=1上:
解得

作拉格朗日函数:L=-xy+^+[L'=-y+2Ax=0'x
Lry=-x+42y=0
f42]
+4y=1
11
所以zi2=f(±/,干年)=e,,”以土忑,土司)=e4;
11
3)比较以上函数值知,函数的最大值为九、=/(土耳,干才)="
11
函数的最小值为fmiD=f(+/,士方)=e4
I 【证明】:令/(x)=/(x)」f,对函数F(x)分别在区间[0,1]与[1,2]应用拉格朗日中值定理,
4
可得存在Je(0,l)使得F(l)-F(0)=/(l)^1=尸修)=/'(自)一。3,4
存在〃e(L2)使得尸(2)-尸(1)=-f(口+1=尸(〃)=/(力-if,
4
结合上述两式可得:修)苫3=八/'⑺,即有:(9+/'(〃)=$+炉.
9 【解】:设Q:V+y2一XW0,则
有 JJj^+^-xdxdy
jy|x2+y2-xjiifify= +y1-x^xdy+ | |
=-1^(x2+y2-x)t£cJy+
+y2—x)dxdy
JJ(x2+y2-x)dxdy
D-D1
=-4(2dO^(r2-rcos6»dr+2, (/-rcos9)rdr
1f- 0 / 11 )孔2
=_J2cos40d0+2\2_cosO)d0=—
3。 0 43 16 3
1 Y ( 1A 1 Y
$ 」解】:容易求出曲线y与直线y=的交点为名;曲线y=与直线y=4的
/ /一〃3 A
r1、
交点为为1•
(〃+1)2
2/7+1
卬〃+1)]2
=liml
n=l〃=lI〃 (〃+l))
(1、
-+―£.——£+・・・+——― 1
223 /(n+l)2J
=liml1 :
…("+D
0Kfil:(I)3阶实对称矩阵A的秩为1,故%=4=。的特征向量为J=(xxx)>由J与4正交得方程组-X+x+x=
I2 3 I I2 3
$=(110),4=(101),,故$,,是4r=(A)=1知$,右是A*=0的一个基础解系.
所以Ax=0通解为kJ=k(110)r+fc(10l)r;12 23I 2
p)
(H)由(2)知线性无关,令尸=C4"),则P是可逆矩阵,且kAP=0 ,
(21)【解】
(I)A的特征值为1,-1,2.\A\=-2,
|A,-2A-11=||A|A-1-2A-,I=|-4A_'|=(-4)|A-'|=32
由此:
(II)由题意P74尸=A=
(—iy
可知A-2A--A+4E=尸”(-1)3 -2| (-1) -1八尸
2、 2一 2।
LI)I)<刀
=P(2E)Pt=2E.
U
0
1
V
0
1
Pi
1/2
1/2
%
1/4
3/4
X
0
1
0
1/8
3/8
1
1/8
3/8
由此可知,边缘分布律为
Z
0
1
Pi
5/8
3/8
(II)U与V是相互独立,由此知U与V不相关,所以Pw=0;
(III)由分布律知Z=min(U,V)的分布律为
所以E{min(U,V)}=E(Z)=3.
8
2A=詈3¥%2的短呼%=3氏令"=工,所以3"三,则小=出为。的矩估计.
Jo原炉Jo4 4 13
(II)。的最大似然估计:
3" 2
… ,d32
由于似然函数为L=X\f{xi,6)=\\-Txi=万行(再看…x“)
T"aUd\nL 3n
又lnL=〃ln3-3〃ln6»+2ZlnXj,由此■/钎=一»<0,则似然函数L在04再4。的条件下,为。的单调减函整;所以要使L大二在时,只要。小即可;由此,按最大似然函数的定义,。的最大似然估计6=max{x}(或。=max{X}).
° 1</^« ' L1金* '
(III)ZX<9)=16D(^C)=16D(X)=16[E(X2)-(£X)2]
1602392n392 1632 92 02
=就[口铲x小(/"=乐呼+3]=—
2 【解】(I)由定义可知(x,y)的联合密度函数为:乃 ;
0,(x,y"G
2 21 2K1