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矩阵分块在证明中的应用
矩阵分块在证明中的应用
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矩阵分块在证明中的应用
【摘要】矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。为了研究问题的需要,适当地对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚。矩阵分块的思想在线性代数证明、应用中是十分有用的。运用矩阵分块的思想,可以使证明更简洁,思路更开阔。本文利用矩阵的分块方法给出关于在矩阵的秩、存在性问题、分解、行列式相关问题、求逆、特征多项式相关命题的简洁证明。
【关键词】矩阵分块线性代数矩阵的秩初等矩阵
矩阵分块在证明中的应用
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矩阵分块在证明中的应用
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Applicationofblockmatrixinproof
【Abstract】Matrixisakindofnewoperationtarget,andweshouldpayfullattentiontothespeciallawinoperatingthematrix。Inordertomakethestructureofmatrixmoreclearly,whenwestudythismatter,wecandividematrixproperly,andregardabigmatrixassomesmallones,,abouttheproblemofdecomposition,thedeterminant,relatedproblems,inverse,characteristicspolynomialcorrelativepropositionsconcisecertificate.
【KeyWords】blockmatrixlinearalgebrarankofmatrixelementarymatrix
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目录
1引言 。。。1
2预备知识 。。。1
2。1定义 .。。1
2。2矩阵分块的法则 。..3
2。3矩阵分块的性质及推论 。.。5
3矩阵分块在证明中的应用 .。。9
。。.9
3。 ..。9
3。1。2矩阵分块在秩的等式证明中的应用 .。.10
3。2矩阵分块在矩阵存在性问题中的应用 ..。11
。.。11
3。4矩阵分块在矩阵行列式相关问题中的应用 。..12
。。.12
3。6矩阵分块在特征多项式证明中的应用 。。.14
结论 。.。15
参考文献 。..16
致谢 。。.17
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1引言
在数学名词中,矩阵(英文名Matrix),,又直观。例如对于方程组
我们可以构成一个矩阵
因为这些数字是有规则的排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来。数学上,一个矩阵乃一个行列的矩形阵列。矩阵由数组成,或更一般的,由某环中元素组成。
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常用于很多学科中。如:线性代数、线性规划、统计分析,,如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握,对于矩阵的运算和应用,则有很多的问题值得我们去研究,对阶数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分,当矩阵的行数和列数都较大时,矩阵的计算与证明则会是一个很繁琐的过程,因此这时我们需要有一个更好的矩阵处理方法,来使这些问题得到更好的解决,矩阵分块的思想由此产生,矩阵分块形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.
本文将在总结矩阵分块性质的基础上,比较系统的总结讨论矩阵分块在矩阵秩、矩阵存在性问题、矩阵分解、行列式相关问题、矩阵求逆、特征多项式证明方面的应用。
2预备知识
为了深入探讨矩阵分块的性质及其应用,我们有必要回顾一下矩阵分块的相关知识。
2。1定义
用纵线与横线将矩阵划分成若干较小的矩阵:
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其中每个小矩阵叫做的一个子块;。
为了说明这个方法,下面看一个例子,在矩阵
中,表示2级单位矩阵,而
,.
在矩阵
中,
在计算时,把都看成是由这些小矩阵组成的,即按2级矩阵来运算,于是
,
其中
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,
.
因之,
。
不难验证,直接按4级矩阵乘积的定义来计算,结果是一样的。
以下会看到,矩阵分块有很多方便之处,常常在分块之后,矩阵间相互的关系看得更清楚。用
这就是的一种分块,按分块相乘,就有
.
用这个式子很容易看出的行向量是的行向量的线性组合;将进行另一种分块乘法,从结果中可容易看出的列是的列的线性组合。

我们知道,为保证分块矩阵能够进行乘法运算,必须满足:
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(1)左矩阵的列数等于右矩阵的行数;
(2)左矩阵每列的分法与右矩阵行的分法相同;
至于左矩阵行的分法与右矩阵列的分法没有任何要求。本文讨论把矩阵按行向量或列向量分块,在满足上述分块法则条件下,指出它在某些命题中的应用。为此,设
对于,可用表示列向量,用表示行向量,
即

同样用
分别表示的列向量及行向量。
矩阵和矩阵的几种分块乘积常见形式如下(满足分块法则):
①
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②
③

定义2:对m+n阶单位矩阵作2×2分块,即,然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。
分块初等矩阵具有以下形式:
①分块初等对换阵:
②分块初等倍乘阵:
③分块初等倍加阵:
其中、分别是阶和阶可逆方阵。
注:在使用分块初等矩阵乘法时,要注意所作分块必须使得分块乘法的运算能进行.
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由定义2,给出分块初等矩阵的性质.
性质1:对分块矩阵进行一次行(列)初等变换,相当于左(右)乘一个相应的分块初等矩阵。
性质2:分块初等矩阵是可逆矩阵。
性质3:对一个分块矩阵左(右)乘一个分块初等矩阵,不改变原分块矩阵的秩.
在行列式计算中,我们经常用到下面三条性质:
1)若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面;
2)把行列式中的某行乘上某一个非零数,加到另一行上去,其值不变;
3)把行列式的某两行互换位置,其值变号。
利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵上进行推广.
性质4设方阵A是由如下分块矩阵组成
其中都是矩阵,又是任一级方阵,对于矩阵
则.
证明:设为级单位矩阵,则
于是.
性质5设矩阵是由如下分块矩阵组成
其中都是矩阵,又是任一级方阵,对于矩阵
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则。
证明:由
其中为级单位矩阵,对上式两边同时取行列式得。
性质6设方阵和写成如下的形式:
其中都是矩阵,则:
,当为偶数时;-,当为奇数时。
证明:可由中的与相应的两行对换而得到,而对换行列式得两行,行列式反号,故当为偶数时,当为奇数时-。
可以证明,,这些性质不仅对行成立,对列也同时成立。
推论1设都是阶方阵,则有
(2。5)
证明:作2阶行列式
由拉普拉斯展开定理得。
又由性质2并应用于列的情况,有
。
推论2设都是阶方阵,则有
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