文档介绍：该【复变函数及积分变换重要知识点总结归纳 】是由【春天资料屋】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【复变函数及积分变换重要知识点总结归纳 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。精选文档
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复变函数复****要点
(一)复数的见解
复数的见解:z
xiy,x,y是实数
,
xRez,y
Imz
i2
1.
1.
.
注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小.
1)模:z
x2
y2;
2)幅角:在z
0时,矢量与x轴正向的夹角,记为
Argz(多值函
数);主值argz是位于(
,]中的幅角。
3)argz与arctany之间的关系以下:
x
当x
0,
argz
arctany;
x
y
0,argz
arctany
当x
0,
x
;
arctany
y
0,argz
x
4)三角表示:z
zcos
isin
,此中
argz;注:中间必定是“+”
号。
5)指数表示:z
zei,此中
argz。
(二)复数的运算
:若z1
x1iy1,z2
x2
iy2,则z1z2
x1
x2
i
y1y2
:
1)若z1
x1
iy1,z2
x2
iy2,则
z1z2
x1x2
y1y2
ix2y1
x1y2;
z1
x1
iy1
x1
iy1
x2
iy2
x1x2
y1y2
i
y1x2
y2x1
。
z2
x2
iy2
x2
iy2
x2
iy2
x22
y22
x22
y22
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2
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)若z1
z1ei
1,z2
z2ei2,则
2
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i
12
;
z1
z1
i
1
2
z1z2z1z2e
z2
z2
e
1)若z
z(cos
isin)
zei
,则zn
n
n
z(cosn
isinn)zein。
2)若z
z(cos
isin)
zei
,则
1
2k
2k
n1)(有n个相异的值)
nzzn
cos
isin
(k0,1,2L
n
n
(三)复变函数
:wfz,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的照耀.
1)指数函数:ez
excosyisiny,在z平面各处可导,各处分析;
且ez
ez。
注:ez是以2i为周期的周期函数。(注意与实函数不一样样)
3)对数函数:Lnz
lnzi(argz2k)(k0,1,2L)(多值函数);
主值:lnz
lnziargz。(单值函数)
Lnz的每一个主值分支
lnz在除掉原点及负实轴的
z平面内各处
分析,且lnz
1;
z
注:负复数也有对数存在。(与实函数不一样样)
3)乘幂与幂函数:ab
ebLna
(a
0);zb
ebLnz
(z
0)
注:在除掉原点及负实轴的
z平面内各处分析,且
zb
bzb1。
4)三角函数:sinz
eiz
eiz
,cosz
eiz
eiz
,tgz
sinz,ctgz
cosz
2i
2
cosz
sinz
sinz,cosz在z平面内分析,且
sinz
cosz,cosz
sinz
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注:有界性sinz
1,cosz
1不再建立;(与实函数不一样样)
4)双曲函数
shz
ez
ez
,chz
ez
ez
;
2
2
shz奇函数,chz是偶函数。shz,chz在z平面内分析,且
shzchz,chzshz。
(四)分析函数的见解
1)点可导:fz0
=lim
0
fz0zfz0;
z
z
2)地区可导:fz在地区内点点可导。
1)点分析:fz在z0及其z0的邻域内可导,称fz在z0点分析;
2)地区分析:fz在地区内每一点分析,称fz在地区内分析;
3)若f(z)在z0点不分析,称z0为fz的奇点;
:分析函数的和、差、积、商(除分母为
零的点)仍为分析函数;分析函数的复合函数仍为分析函数;
(五)函数可导与分析的充要条件
:fzux,yivx,y在zxiy可导
ux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y处知足CD条件:
uv,uv
xyyx
此时,有fzuiv。
xx
:fzux,yivx,y在地区内分析
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ux,y
和vx,y在x,y在D内可微,且知足C
D条件:
u
v,
u
v;
x
y
y
x
此时fz
u
i
v。
x
x
注意:若ux,y
,vx,y在地区D拥有一阶连续偏导数,则ux,y,vx,y
在地区D内是可微的。所以在使用充要条件证明时,只需能说
明u,v拥有一阶连续偏导且知足CR条件时,函数f(z)uiv必定是可导或分析的。
1)利用定义(题目要求用定义,如第二章****题1)
2)利用充要条件(函数以fzux,yivx,y形式给出,如第二
章****题2)
3)利用可导或分析函数的四则运算定理。(函数fz是以z的形式
给出,如第二章****题3)
(六)复变函数积分的见解与性质
:
n
fkzk,c是圆滑曲线。
fzdzlim
c
n
k
1
注:复变函数的积分实质是复平面上的线积分。
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1)
2)
c
fzdz
c
1
f
zdz
(c1与c的方向相反);
c
[
fz
g
z
dz
c
fzdz
c
gzdz
是常数;
]
,,
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3)若曲线c由c1
与c2
连结而成,则fzdz
fzdz
fzdz。
c
c1
c2
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1)化为线积分:fzdzudxvdyivdxudy;(常用于理论证明)
ccc
2)参数方法:设曲线c:zzt(t),此中对应曲线c的起
点,对应曲线c的终点,则fzdzf[zt]z(t)dt。
c
(七)对于复变函数积分的重要定理与结论
—古萨基本定理:设fz在单连域B内分析,c为B内任一闭曲线,则
?fzdz0
c
:设fz在多连域D内分析,c为D内随意一条
简单闭曲线,c1,c2,Lcn是c内的简单闭曲线,它们互不包括互不订交,并且以c1,c2,Lcn为界限的地区全含于D内,则
①
?fzdz
n
?fzdz,
此中c与ck均取正向;
k
1
c
ck
②
?fzdz
0
,此中
由c及c1(k1,2,Ln)所构成的复合闭路。
:一个在地区D内的分析函数fz沿闭曲线c的
积分,不因c在D内作连续变形而改变它的值,只需在变形过程中c不经过使fz不分析的奇点。
:设fz在单连域B内分析,Gz
z
为fz在B内的一个原函数,则2fzdzGz2Gz1(z1,z2B)
z1
说明:分析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径没关,计算
时只需求出原函数即可。
5。柯西积分公式:设fz在地区D内分析,c为D内任一正向简单闭曲线,c的内部完满属于D,z0为c内随意一点,则
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fz
2
ifz0
dz
?czz0
:分析函数f
z的导数仍为分析函数,它的
n阶
导数为
fz
n1dz
2i
n
z0
(n1,2L)
c
f
n!
?(zz0)
此中c为f
z
的分析地区D
内环绕z0的任何一条正向简单闭曲线,
并且它的内部完满属于D。
:
1
2i,
n
0
。(c是包括a的随意正向简单闭曲
?c(za)n1
dz
0,
n
0
线)
1)若fz在地区D内各处不分析,用一般积分法
fzdz
f[zt
]ztdt
c
2)设f
z在地区D内分析,
c是D内一条正向简单闭曲线,则由柯西—古萨定理,
?
fzdz0
c
c是D内的一条非闭曲线,
z1,z2对应曲线c的起点和终点,则有
z2
fzdzFz2
Fz1
fzdz
c
z1
3)设f
z在地区D内不分析
f
z
dz
2
if
z0
c
z0
曲线c内仅有一个奇点:
?z
(f(z)在c内分析)
f
z
2
if
1dz
nz0
c
n
z0)
n!
?(z
曲线c内有多于一个奇点:
?f
zdz
n
?f
zdz(ci内只有一个奇
k1
c
ck
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点zk)
n
或:?fzdz2
ik1
Res[f(z),zk](留数基本定理)
c
若被积函数不可以表示成
fz
n1,则须改用第五章留数定理来计
zo)
(z
算。
(八)分析函数与调解函数的关系
:若二元实函数
(x,y)在D内有二阶连续偏导数
2
2
且知足
2
y
20,
x
(x,y)为D内的调解函数。
分析函数fzu
iv的实部u与虚部v都是调解函数,并称虚部v
为实部u的共轭调解函数。
两个调解函数u与v构成的函数f(z)
uiv不用然是分析函数;但
是若u,v假如知足柯西—
黎曼方程,则u
iv必定是分析函数。
,求分析函数fzu
iv的方法。
1)偏微分法:若已知实部u
ux,y,利用C
R条件,得
v,
v;
x
y
对v
u两边积分,得v
udy
gx
(*)
y
x
x
再对(*)式两边对x求偏导,得
v
x
udygx
()
x
x
由CR条件,u
v,得u
x
udy
gx,可求出
gx;
y
x
y
x
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代入(*)式,可求得
u
。
虚部vdygx
x
2)线积分法:若已知实部u
ux,y,利用C
R条件可得
dv
vdx
vdy
udx
udy,
x
y
y
x
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故虚部为v
x,y
uu
dxdyc;
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x0,y0
yx
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因为该积分与路径没关,可采纳简单路径(如折线)计算它,其
中x0,y0与x,y是分析地区中的两点。
3)不定积分法:若已知实部uux,y,依据分析函数的导数公式
和C
R条件得悉,
f
z
u
iv
u
iu
x
y
x
y
将此式右端表示成
z的函数U
z
,因为f
z仍为分析函数,故
fz
U
zdz
c
(c为实常数)
注:若已知虚部v也可用近似方法求出实部u.
(九)复数项级数
1)复数列{
n}{an
ibn}(
n
1,2L)收敛于复数
a
bi的充要条件为
liman
a,
limbnb
(同时建立)
n
n
2)复数列{
n}收敛
实数列{an},{bn}同时收敛。
1)复数项级数
n(nan
ibn)收敛的充要条件是级数
an与
bn同
n0
n0
n0
时收敛;
2)级数收敛的必需条件是
limn0。
n
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注:复数项级数的敛散性可以概括为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。
(十)幂级数的敛散性
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:表达式
cn(zz0)n或cnzn为幂级数。
n0n0
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1)幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel):假如幂级数cnzn在z00
n0
处收敛,那么对知足zz0的全部z,该级数绝对收敛;假如在
z0处发散,那么对知足zz0的全部z,级数必发散。
2)幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内,绝对收敛;在圆域外,发散;在收敛圆的
圆周上可能收敛;也可能发散。
3)收敛半径的求法:收敛圆的半径称收敛半径。
比值法
cn1
0,则收敛半径R
1
;
假如lim
ncn
根值法limcn0,则收敛半径R1;
n
假如0,则R;说明在整个复平面上各处收敛;
假如,则R0;说明仅在zz0或z0点收敛;
注:若幂级数出缺项时,不可以直接套用公式求收敛半径。(如cnz2n)
n0
1)代数性质:设anzn,bnzn的收敛半径分别为R1与R2,记
n0n0
RminR1,R2,
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