文档介绍：估计量的评选标准与区间估计
一估计量的评选标准
(一) 无偏性
定义若估计量= (X1 ,X2 ,…,Xn)的数学期望E( )
存在,且对于任意∈有
E( )=,
则称是的无偏估计。
在科学技术中E( )-称为以作为的估计的系统误
差,无偏估计的实际意义就是无系统误差。
例1 设总体X的的k阶矩k=E(Xk)(k1)存在,又设X1
,X2 ,…,Xn是X的一个样本。试证明不论总体服从什么分
布,k阶样本矩
证 X1 ,X2 ,…,Xn与X同分布,故有
E(Xik)=E(Xk) = k , i=1,2,…,n.
即有
证
例2 对于均值,方差20都存在的总体,若, 2均为
未知,则2的估计量是有偏的。
是k阶总体矩k的无偏估计。
特别,不论总体服从什么分布,只要它的数学期望存在
总是总体X的数学期望1=E(X)的无偏估计量。
所得的估计量就是无偏的了:
这就是说S2是2的无偏估计,因此,一般都是取S2作为
方差2的估计量。
例3 设总体X服从参数为的指数分布,概率密度为
其中>0为未知,又设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本,试证
都是的无偏估计量
证
而Z=min(X1 ,X2 ,…,Xn)服从参数为/n的指数分布,
即具有概率密度
故知
即nZ也是参数的无偏估计量。
由此可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量。
事实上X1 ,X2 ,…,Xn均可。
(二)有效性
的无偏估计量,若有
现在来比较的两无偏估计量.
例4 (续例3)试证当n>1时,的无偏估计量较的无
偏估计量nZ有效。
(三) 一致性
定义设(X1 ,X2 ,…,Xn)为参数的估计量,若对于
任意,当n时(X1 ,X2 ,…,Xn)依赖收敛于,则称
为的一致估计量。
证由于D(X)=2,故有D( )= 2 /n,
再者,由于D(Z)==2/n2 , 故有D(nZ)= 2.
当n>1时 D(nZ)>D( ),故较nZ有效。
由第六章2知,样本k(k≥1)阶矩是总体X的k阶矩
k=E(Xk)的一致估计量,进而若待估参数=g(1 , 2 ,…,
k ),其中g为连续函数,则的矩估计量
=g(A1 ,A2 ,…,Ak)是的一致估计量。
由极大似然估计法得到的估计量,在一定条件下也
具有一致性。
二区间估计
对于未知参数,除了求出它的点估计外,还必须给
出一个范围,并知道这个范围包含真值的可信度,这样
的范围用区间给出,并给出范围含的可信程度。这种形
式的估计称为区间估计。
置信区间设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知
参数. 对于给定值a(0<a<1), 若由样本X1 ,X2 ,…,Xn确定
的两个统计量
满足
别称为置信度为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上
限,1-a称为置信度。
意义:若反复抽样多次(容量都是n),每个样本确定一
个区间,其中包含真值的约占100(1-a)%。
例4 设总体X~N(,2), 2为已知, 为未知, 设X1 ,X2,
…,Xn 是来自X的样本, 求的置信度为1-a的置信区间。
且它不依赖于任何未知参数, 按标准正态分布的上a分位
点的定义,有(如图)