文档介绍：三元一次方程(组)
三元一次方程的定义
三元一次方程就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。如等都是三元一次方程
三元一次方程组的定义
方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组,如是三元一次方程组。
注:三元一次方程组必须满足:a方程组中有且只有三个未知数;b含未知数的项的次数都是1.
每个方程中不一定都含有三个未知数。
三元一次方程组的解
一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解。
三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解。
解三元一次方程组的一般步骤
用代入消元法解三元一次方程组的步骤:
利用代入法消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;
解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起,就是所求三元一次方程组的解。
用加减消元法解三元一次方程组的步骤:
利用加减的方法消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;
解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起,就是所求的三元一次方程组的解。
例1:解方程组
分析:方程③是关于x的表达式,通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x”的目标。
解法1:代入法,消x.
把③分别代入①、②得
解得
把y=2代入③,得x=8.∴是原方程组的解.
类型一:有表达式,用代入法型.
针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2:消z.
①×5得 5x+5y+5z=60 ④
④-②得 4x+3y=38 ⑤
由③、⑤得解得
把x=8,y=2代入①得z=2.
∴是原方程组的解.
类型二:缺某元,消某元型.
例2:解方程组
分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等;每一个未知数的系数之和也相等,即系数和相等。具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”,可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解:由①+②+③得4x+4y+4z=48,
即x+y+z=12 .④
①-④得 x=3,
②-④得 y=4,
③-④得 z=5,
∴是原方程组的解.
典型例题举例:解方程组
解:由①+②+③得2(x+y+z)=60 ,
即x+y+z=30 .④
④-①得 z=10,
④-②得 y=11,
④-③得 x=9,
∴是原方程组的解.
类型三:轮换方程组,求和作差型.
例3:解方程组
分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系,根据以往的经验,看见比例式就会想把比例式化成关系式求解,即由x:y=1:2得y=2x; 由x:z=1:7得z=,即,根据方程组的特点可选用“有表达式,用代入法”求解。
解法1:由①得y=2x,z=7x ,并代入②,得x=1.
把x=1,代入y=2x,得y=2;
把x=1,代入z=7x,得 z=7.
∴是原方程组的解.