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高等数学上册复****要点
一、 函数与极限
(一)函数
1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性) ;
2、反函数、复合函数、函数的运算;
3、初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;
4、函数的连续性与间断点;
函数f(x)在x0连续
limf(x)f(x0)
xx0
第一类:左右极限均存在 .
间断点 可去间断点、跳跃间断点
第二类:左右极限、至少有一个不存在 .
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定
理及其推论.
(二)极限
1、
定义
1)
数列极限
limxna
0,
N
,n
N,xn
a
n
2)
函数极限
limf(x)A
0,
0,
x,当0
xx0
时,f(x)A
x
x0
左极限:f(x0)
lim
f(x)
右极限:f(x0)
limf(x)
xx0
xx0
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limf(x)A存在
f(x0)f(x0)
xx0
2、 极限存在准则
1) 夹逼准则:
1)yn
xn
zn(nn0)
2)limyn
limzn
a
limxn
a
n
n
n
2)
单调有界准则:单调有界数列必有极限.
3、
无穷小(大)量
1)
定义:若lim
0则称为无穷小量;若lim
则称为无穷大量.
2)
无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、
k阶无穷小
Th1
~
o(
);
Th2
~
,~
,lim
存在,则limlim
(无穷小代换)
4、 求极限的方法
1) 单调有界准则;
2) 夹逼准则;
3) 极限运算准则及函数连续性;
4)
两个重要极限:
sinx
1
1
x
a)
lim
b)
lim(1x)x
e
1
lim(1)
x0
x
x0
x
x
5)
无穷小代换:(x
0)
a)
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
b)
1
cosx~1x2
2
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c)ex
1~x
(ax
1~xlna)
d)
ln(1
x)~x
(loga(1x)~
x
)
lna
e)
(1
x)1~
x
二、导数与微分
(一)导数
1、
定义:f(x0)
lim
f(x)
f(x0)
x
x0
xx
0
左导数:f
(x0)
f(x)f(x0)
lim
x
x0
x
x0
右导数:f
(x0)
f(x)f(x0)
lim
x
x0
x
x0
函数f(x)在x0点可导
f
(x0)f(x0)
2、
几何意义:f
(x0)为曲线y
f(x)在点x0,f(x0)处的切线的斜率.
3、 可导与连续的关系:
4、 求导的方法
1)导数定义;
2)基本公式;
3)四则运算;
4)复合函数求导(链式法则);
5)隐函数求导数;
6)参数方程求导;
7)对数求导法.
5、 高阶导数
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d2y
d
dy
1)定义:dx2
dx
dx
n
Cku(k)v(nk)
2)Leibniz
公式:
uv(n)
k
n
0
(二)微分
1)定义:
y
f(x0
x)
f(x0)Ax
o(
x),其中A与x无关.
2)可微与可导的关系:可微
可导,且dy
f
(x0)xf(x0)dx
三、 微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、Rolle
罗尔定理:若函数
f(x)满足:
1)f(x)
C[a,b];2
)f(x)
D(a,b);3)f(a)
f(b);
则
(a,b),使f()
0.
2、Lagrange拉格朗日中值定理*:若函数f(x)满足:
1)f(x)
C[a,b];2
)f(x)
D(a,b);
则
(a,b),使f(b)
f(a)
f()(ba).
3、Cauchy柯西
中值定理:若函数
f(x),F(x)满足:
1)f(x),F(x)
C[a,b];2)f(x),F(x)D(a,b);3)F(x)
0,x(a,b)
则
(a,b),使
f(b)
f(a)
f(
)
F(b)
F(a)
F(
)
(二)洛必达法则
(三)Taylor 公式
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(四)单调性及极值
1、单调性判别法:f(x)
C[a,b],f(x)D(a,b),则若f(x)
0
,则
f(x)单调增加;则若f(x)0,则f(x)单调减少.
2、极值及其判定定理:
a)
必要条件:f(x)在x0可导,若x0为f(x)的极值点,则f(x0)
0
.
b)
第一充分条件:f(x)在x0的邻域内可导,且f(x0)0,则①若当x
x0
时,f(x)
0,当x
x0时,f(x)
0,则x0为极大值点;②若当x
x0
时,f(x)
0,当x
x0时,f(x)
0,则x0为极小值点;③若在
x0的
两侧f(x)不变号,则x0不是极值点.
c) 第二充分条件:f(x)在x0处二阶可导,且f(x0) 0,f(x0) 0,则
①若f(x0) 0,则x0为极大值点;②若 f(x0) 0,则x0为极小值点.
3、凹凸性及其判断,拐点
1)f(x)在区间I上连续,若x1,x2
I,f(x1
x2)
f(x1)
f(x2),则称f(x)在
2
2
区间I
上的图形是凹的;若x1,x2
I,f(x1
x2)
f(x1)
f(x2),则称f(x)在
2
2
区间I
上的图形是凸的.
2)判定定理:f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有一阶、二阶导数,则
a)
若
x
(a,b),f(x)
0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
b)
若
x
(a,b),f(x)
0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
3)拐点:设y
f(x)在区间I上连续,x0是f(x)的内点,如果曲线y
f(x)经
过点(x0,f(x0))时,曲线的凹凸性改变了,则称点(x0,f(x0))为曲线的拐点.(五)不等式证明
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1、利用微分中值定理;
2、利用函数单调性;
3、利用极值(最值).
(六)方程根的讨论
1、连续函数的介值定理;
2、Rolle定理;
3、函数的单调性;
4、极值、最值;
5、凹凸性.
(七)渐近线
1、铅直渐近线:limf(x)
,则x
a为一条铅直渐近线;
xa
2、水平渐近线:limf(x)
b,则y
b为一条水平渐近线;
x
四、 不定积分
(一)概念和性质
1、 原函数:在区间 I上,若函数F(x)可导,且F(x) f(x),则F(x)称为
f(x)的一个原函数.
2、 不定积分:在区间 I上,函数f(x)的带有任意常数的原函数称为 f(x)在
区间I上的不定积分.
3、 基本积分表(P188,13个公式);
4、 性质(线性性).
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(二)换元积分法
1、第一类换元法(凑微分): f[ (x)] (x)dx f(u)duu (x)
2、第二类换元法(变量代换:三角代换、倒代换、根式代换等):
f(x)dx
f[(t)](t)dt
1(x)
t
(三)分部积分法: udv uv vdu(反对幂指三,前U后V’)
(四)有理函数积分
、“拆”;
、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
五、 定积分
(一)概念与性质:
b
n
1、定义:af(x)dx
lim
f(i)
xi
0i1
2、性质:(7条)
性质7(积分中值定理)
函数f(x)在区间[a,b]上连续,则
[a,b],使
b
b
f()
f(x)dx
f(x)dxf()(b
a)
(平均值:
a
)
b
a
a
(二)微积分基本公式(N—L公式)
1、变上限积分:设(x)
x
f(t)dt,则(x)f(x)
a
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d
(x)
f[(x)]
(x)f[
(x)](x)
推广:
f(t)dt
dx
(x)
2、N—L公式:若F(x)为
f(x)的一个原函数,则
b
f(x)dxF(b)F(a)
a
(三)换元法和分部积分
b
f[(t)]
(t)dt
1、换元法:f(x)dx
a
b
uvba
b
2、分部积分法:
udv
vdu
a
a
(四)反常积分
1、 无穷积分:
t
f(x)dx lim f(x)dx
a t a
b b
f(x)dx lim f(x)dx
t t
0
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
0
2、 瑕积分:
b
b
f(x)dx
lim
f(x)dx(a为瑕点)
a
ta
t
b
t
f(x)dx
lim
f(x)dx(b为瑕点)
a
tb
a
两个重要的反常积分:
dx
,
p
1
a1
p
1)
axp
,
p
1
p
1
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(b
a)1q
1
b
dx
b
dx
,q
1
q
2)
a(xa)q
a(bx)q
,
q
1
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