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2022年湖南省衡阳市中考数学试卷
(本大题共12小题,每小题3分,满分36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)﹣2的绝对值是( B )
A.﹣2 C. D.﹣
2.(3分)石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示,它的主视图是( A )
A. B.
C. D.
3.(3分)下列选项中的垃圾分类图标,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( C )
4.(3分)为有效防控新冠疫情,,×109的形式,则a的值是( B )
5.(3分)下列运算正确的是( D )
+a3=a5 •a4=a12 C.(a3)4=a7 ÷a2=a
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6.(3分)下列说法正确的是( A )
A.“任意画一个三角形,其内角和为180°”是必然事件
,适合采用普查的方式
,对总体的估计就越准确
、黄、绿三种颜色,所以开车经过十字路口时,恰好遇到黄灯的概率是
7.(3分)如果二次根式有意义,那么实数a的取值范围是( B )
>1 ≥1 <1 ≤1
8.(3分)为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神,把劳动教育纳入人才培养全过程,某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动,已知五个项目参与人数(单位:人)分别是:35,38,39,42,42,则这组数据的众数和中位数分别是( C )
,39 ,38 ,39 ,35
9.(3分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( A )
A.
B.
C.
D.
10.(3分)下列命题中为假命题的是( C )
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11.(3分)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,,按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(:≈,≈,≈)( B )
12.(3分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=6,AB∥CD,AC平分∠=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( D )
A. B.
C. D.
【解析】过D点作DE⊥AC于点E.
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∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC=∠CAD,
∴∠ACD=∠CAD,则CD=AD=y,即△ACD为等腰三角形,
则DE垂直平分AC,
∴AE=CE=AC=3,∠AED=90°,
∵∠BAC=∠CAD,∠B=∠AED=90°,
∴△ABC∽△AED,
∴,
∴,
∴y=,
∵在△ABC中,AB<AC,
∴x<6,
故选:D.
(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)
13.(3分)因式分解:x2+2x+1= (x+1)2 .
14.(3分)计算:= 4 .
15.(3分)计算:+= 2 .
16.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,=8,BC=15,则△ACD的周长为 23 .
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17.(3分)如图,用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升了 4π cm.(结果保留π)
18.(3分)回雁峰座落于衡阳雁峰公园,“万里衡阳雁,寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑,,利用测角仪及皮尺测得以下数据:如图,AE=10m,
∠BDG=30°,∠BFG=60°.,则大雁雕塑BC的高度约为 m.(:≈)
【解析】∵∠BFG=60°,∠BDG=30°,
∴∠DBF=60°﹣30°=30°,
∴∠DBF=∠BDF,
∴DF=BF=AE=10,
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Rt△BFG中,sin∠BFG=,
∴=,
∴BG=5=5×≈,
∴BC=BG+CG=+≈(m).
答:.
故答案为:.
(本大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,、证明过程或演算步骤.)
19.(6分)先化简,再求值.
(a+b)(a﹣b)+b(2a+b),其中a=1,b=﹣2.
解:(a+b)(a﹣b)+b(2a+b)
=a2﹣b2+2ab+b2
=a2+2ab,
将a=1,b=﹣2代入上式得:
原式=12+2×1×(﹣2)
=1﹣4
=﹣3.
20.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,且BD=:AD=AE.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,
,
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∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
21.(8分)为落实“双减提质”,进一步深化“数学提升工程”,提升学生数学核心素养,某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会,为了解学生最喜爱的项目,现随机抽取若干名学生进行调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)参与此次抽样调查的学生人数是 120 人,补全统计图①(要求在条形图上方注明人数);
(2)图②中扇形C的圆心角度数为 90 度;
(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人,估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少;
(4)计划在A,B,C,D,E五项活动中随机选取两项作为直播项目,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中B,E这两项活动的概率.
解:(1)调查学生总数为36÷30%=120(人),
选择“”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6=18(人),
故答案为:120,补全统计图如下:
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(2)360°×=90°,
故答案为:90;
(3)1200×=300(人),
答:参加成果展示活动的1200名学生中,最喜爱“测量”项目的学生大约有300人;
(4)在A,B,C,D,E五项活动中随机选取两项,所有可能出现的结果如下:
共有20种可能出现的结果,其中恰好选中B,E这两项活动的有2种,
所以恰好选中B,E这两项活动的概率为=.
22.(8分)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分别是2022年北京冬奥会、,冰墩墩、,已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元,每个雪容融玩偶可获利20元.
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少?
(2)第二次小雅进货时,,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少元?
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解:(1)设冰墩墩的进价为x元/个,雪容融的进阶为y元/个,
由题意可,得,解得,
答:冰墩墩的进价为72元/个,雪容融的进阶为64元/个;
(2)设冰墩墩购进a个,则雪容融购进(40﹣a)个,利润为w元,
由题意可得:w=28a+20(40﹣a)=8a+800,
∴w随a的增大而增大,
∵,
∴a≤(40﹣a),
解得a≤24,
∴当a=24时,w取得最大值,此时w=992,40﹣a=16,
答:冰墩墩购进24个,雪容融购进16个时才能获得最大利润,最大利润是992元.
23.(8分)如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于A(3,1),B(﹣1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)设直线AB交y轴于点C,点M,N分别在反比例函数和一次函数图象上,若四边形OCNM是平行四边形,求点M的坐标.
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解:(1)把A(3,1)代入y=,得
1=,∴m=3,
∴反比例函数关系式为y=;
把B(﹣1,n)代入y=,得
n==﹣3,∴B(﹣1,﹣3),
将A(3,1),B(﹣1,﹣3)代入y=kx+b得:
,解得,
∴一次函数的关系式为y=x﹣2;
答:反比例函数关系式为y=,一次函数的关系式为y=x﹣2;
(2)在y=x﹣2中,令x=0得y=﹣2,
∴C(0,﹣2),
设M(m,),N(n,n﹣2),而O(0,0),
①以CO、MN为对角线时,CO、MN的中点重合,
∴,
解得或,
∴M(,)或(﹣,﹣);
②以CM、ON为对角线,同理可得:
,
解得或,
∴M(,)或(﹣,﹣);
③以CN、OM为对角线,同理可得: