年全国初中数学竞赛试题.doc

文档介绍：2011年全国初中数学竞赛试题
考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150
答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答
2、解答书写时不要超过装订线
3、草稿纸不上交。
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1、设,则代数式的值为( C )
C.-1
2、对于任意实数,定义有序实数对与之间的运算“△”为:。如果对于任意实数,都有,那么为( B )。
A. B. C. D.
3、已知是两个锐角,且满足,,则实数所有可能值的和为( C )
A. B. D.
A
B
C
E
D
F
4、如图,点分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设,,,,则与的大小关系为( C )
A.<
B.=
C.>

5、设,则4S的整数部分等于( A )

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6、两条直角边长分别是整数(其中),斜边长是的直角三角形的个数为__31__。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。
y
x
C
A
B
E
F
O
8、如图,双曲线与矩形OABC的边CB,BA分别交于点E,F且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为_____;
9、⊙的三个不同的内接正三角形将⊙分成的区域的个数为_____。28
10、设四位数满足,则这样的四位数的个数为___。5
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值。
解:设方程的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β
则方程的两个整数根为α+1、β+1,
由根与系数关系得:α+β=-a,(α+1)(β+1)=a
两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3
∴或解得:或
又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)]
∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6
故=-3或=29
A
B
C
H
P
D
Q
12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙和△BCH的外接圆⊙相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点。
证明:如图,延长AP交⊙于点Q
连结AH,BD,QC,QH
∵AB为直径∴∠ADB=∠BDQ=900
∴BQ为⊙的直径
于是CQ⊥BC,BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC,BH⊥AC
∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。
13、若从1,2,3,…,中任取5个两两互素的不同的整数,,,,,其中总有一个整数是素数,求的最大值。
解:若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉