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“构造法”和“整体代入法”在多项式求值中的妙用
求多项式的值,一般是在知道字母取值的条件下进行的,但有些多项式,字母的取值不知道或不易求
出,这时可采用“构造法”和“整体代入法” ,巧妙地求出多项式的值.
例1若代数式4x2
2x
5的值为7,那么代数式2x2
x
1的值等于(
).
C.-2
分析:由题可知
4x2
2x
57
,若采用一般方法解方程求
x,目前来说不可能且十分繁琐,但通
过观察发现,代数式
2x2
x与4x2
2x存在2倍的关系,故可把2x2
x看作一个整体,由条件式
4x2
2x57表示出
2x2
x的值,尔后整体代入2x2
x
1即可.
解:由题意,得
4x2
2x
57,
∴4x2
2x=2,2x2
x=1,
2x2x1=1+1=2.
例2已知
4x2
3y2
7,3x2
2y2
19,求代数式
14x2
2y2的值.
分析:由已知条件不能直接求出
14x2
2y2的值,也不能通过4x2
3y2
=7和3x2
2y2
19解方程
组求出x,y的值,因此应考虑如何将代数式
14x2
2y2通过变形构造成含
4x2
3y2和3x2
2y2的式子.
解:14x2
2y
2
=2(7x2
y2)=2
4x2
3y2
3x2
2y2
∵4x2
3y2
7,3x2
2y2
19,
∴原式=2(7+
19)=52.
*例3
已知x,y,z满足:①axzmb3与bma是同类项;②y
z2
n20,求多项式
1
m1
y
n
z
x
2
xy
z
的值.(暂时不要求掌握)
2
分析:欲求多项式1
x
m1
y
z
n
2
的值,须先求出x,y,z和m,n的值,但x,y,z
y
zx
2
的值不能求出,故若能求出
x
y
,y
z,
zx
的值,然后整体代入即可.
解:∵axzmb3与bma是同类项,
x z m 1,
∴
m 3,
精品
.
解得
m
3,
x
z
①
2.
又∵y
z
2
n
2
0
,
而y
z
2≥0,
n
2≥0,
∴
y
z
2
0,
即
y
z
2
0,
n
2
0,
n
2
0,
解得
n
2,
y
z
②
2.
①-②,得x
y
4.
∴1
x
y
y
z
n
z
x
m1
2
=
2
4
22
22
1
3
1
2
=12.
将一个方程整体带入另一个,例如:
{x+1=2y①
{3(x+1)-y=15②
把①带入②得:
5y=15
y=3
∴方程组的解为
{x=9
{y=5
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