高等代数(ii)期末考试试卷及答案(a卷).docx

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填空题〔每题3分,共15分〕
1、线性空间的两个子空间的交
2、设及是n维线性空间V的两个基,
由到的过渡矩阵是C,列向量X是V
中向量在基下的坐标,那么在基下
的坐标是
3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵,
那么A及B的关系是
4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为:
那么其特征矩阵的标准形是
5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是:
单项选择题〔每题3分,共15分〕
〔〕复数域C作为实数域R上的线性空间可及以下哪一个
线性空间同构:
〔A〕数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间;
〔B〕数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间;
〔C〕数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;
〔D〕复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、〔〕设A是非零线性空间V的线性变换,那么以下命题正确的选项是:
〔A〕A的核是零子空间的充要条件是A是满射;
〔B〕A的核是V的充要条件是A是满射;
〔C〕A的值域是零子空间的充要条件是A是满射;
〔D〕A的值域是V的充要条件是A是满射。
3、〔〕矩阵可逆的充要条件是:
是一个非零常数;
是满秩的;是方阵。
4、〔〕设实二次型〔A为对称阵〕经正交变换后化为:
,那么其中的是:
全是正数;是A的所有特征值;不确定。
5、〔〕设3阶实对称矩阵A有三重特征根“〞,那么A的假设当
标准形是:
以上各情形皆有可能。
是非题〔每题2分,共10分〕
〔请在你认为对的小题对应的括号内打“√〞,否那么打“´〞〕
1、〔〕设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且
那么。
2、〔〕n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
的矩阵是一对角矩阵。
3、〔〕同阶方阵A及B相似的充要条件是及
等价。
4、〔〕n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、〔〕欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
解答题〔每题10分,共30分〕
1、在线性空间中,定义线性变换:
〔1〕求该线性变换A在自然基:
下的矩阵A;
〔2〕求矩阵A的所有特征值和特征向量。
2、〔1〕求线性空间中从基到基
的过渡矩阵;
〔2〕求线性空间中向量在基
下的坐标。
3、在R2中,,规定二元函数:
证明:这是R2的一个内积。
求R2的一个标准正交基。
证明题〔每题10分,共30分〕
设P3的两个子空间分别为:
证明:〔1〕;
〔2〕不是直和。
2、设A是数域P上线性空间V的线性变换,证明
是A的不变子空间的兖要条件是
3、是n级正定矩阵,证明:
〔1〕A是正定矩阵;
〔2〕
答案
填空题〔每题3分,共15分〕
1、线性空间的两个子空间的交
2、设及是n维线性空间V的两个基,
由到的过渡矩阵是C,列向量X是V
中向量在基下的坐标,那么在基下
的坐标是
3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵,
那么A及B的关系是相似关系
4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为:
那么其特征矩阵的标准形是
5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是:
单项选择题〔每题3分,共15分〕
〔A〕复数域C作为实数域R上的线性空间可及以下哪一个
线性空间同构:
〔A〕数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间;
〔B〕数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间;
〔C〕数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;
〔D〕复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、〔D〕设A是非零线性空间V的线性变换,那么以下命题正确的选项是:
〔A〕A的核是零子空间的充要条件是A是满射;
〔B〕A的核是V的充要条件是A是满射;
〔C〕A的值域是零子空间的充要条件是A是满射;
〔D〕A的值域是V的充要条件是A是满射。
3、〔B〕矩阵可逆的充要条件是:
是一个非零常数;
是满秩的;是方阵。
4、〔C〕设实二次型〔A为对称阵〕经正交变换后化为:
,那么其中的是:
全是正数;是A的所有特征值;不确定。
5、〔A〕设3阶实对称矩阵A有三重特征根“〞,那么A的假设当
标准形是:
以上各情形皆有可能。
是非题〔每题2分,共10分〕
〔请在你认为对的小题对应的括号内打“√〞,否那么打“´〞〕
1、〔×〕设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且
那么。
2、〔√〕n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
的矩阵是一对角矩阵。
3、〔√〕同阶方阵A及B相似的充要条件是及
等价。
4、〔×〕n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、〔√〕欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。