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平面向最基本融噂的等和线
【适用W型】平面向虽基本定理的表达式中,研究两系教的和差及线性畋的范畋直【1$定理】面向呈共藤定理
BMl&l=AOfi+/fOC,£三点麟反之亦就等和线
A击
平面内一组品底函房及5显渺,亦况+画s炸/?)「若点p在直线"「则奸(定值),反之im立,我们把直线以以及与直线酬物的醪源为制⑴当尊和线%为直线•访时3=1;当等和线在亿飙戳"之河原^e(OJ);当直线邪在点。&1,村);当等和线过0点时危二0;(5)若两等种镖关于。点对称,则是值X旦为相反数;【郭题步嗤及说明】L等(S线为1的线;Z平移(旋转或伸缩)该线「结合动点的可彳而,分析何处取得最大值R睡小值;3、从长度比成者点的位古两个角度「计算最大唁和最小值;说明:平面向艮共线定理的表达式中的三个向虽的起点务必一致r若不一致「本着少数A艮从多数的原则,优先平移固定的向虽;若需要研究的两系数的线性关系■则黑要通过变瑛基底向品,使得需要研究的代数式为基底的系数和,引例L若点A艮。互不重合/是立8,C三点所在平面上的任意一点目漏足函rRi+j再,则兀£(三点共线02/二1.
证毗(1)由日,=1n4RC三点共线由T+y=1得PC=廿』+yPB=x/U+(lt眇^PC-PB=x(PA-PB)^BC=xBA.
即况,如共埸故」,HC三点共堤(2)由」0(三点共线尸1.
由4奴三点共线得标.***税即存在实数》使得W=xRA.
故PC-PB=x(PA-PB)K二两+(1f)而.
令^=1-+y=l.
引咧2在M把所在平面上的点C满足由和
-=%。共线,即点〃任直2r+3r
PC=xPA+yPB月x+y=2浦指出点C的位B解:令元二而二(\+y画厕
旬二——瓦+二而.
x+yx+y£+—-=1得点,,即点D在百酸ABx^ryx+y上再由PC=2PW知点。在酸」寸上其中PAf=2PAPB^2PB如下图:
。满足PC=xPAiyPB用2a-+3v=5萌指出点。的位&解:令无二5河5=(2x+3v)PD「则无为+圣一两’
2rf3y2t+3y2x-「‘3V■即,也1=凤+—-昭墓中2x+3y2t+3j,线4仇上再由R;=5TO知点。在戳AR上其中#■PX^SP^PB^SPB..如下图:
=xPA+yPBPfi2x+3y=4,M中》>0,》,0」则IPC的取值范围为—.
解玲PC^4Pb=(2x+力叫行则而=W—函+圣一而,
2工+3夕2x+3j/
-—*2x■3r-—即/。=—明+—琪中2x+3y2xi3y尹u矿4挡=严
2t3v由—5-+-22-=ite点d在为段4W上不含点
2x+3夕2x+3y4心如下图:
1?|3,如图,。上的三点且线段CO的延长焦与线段同的延长线交于圜。外的点。者无=疝r刁R则珅+h的取值范围是
解:令以;=a()!)「则由点D在圆。外目在。。的延长埃也I知2<-1.
JJ.
由OC^aOD^iiiOA^iOB^OD^-OA^OB.
*4ZA由B・』.D三点共线可俾%3=]=用+〃或<_]
丁/…_—巧时ZX
例4’已知XIBC的外心。褪而=xAB^yAC君,45=6,JC=10,+1Oy=5,S!!lcosZ/?JC=群:当a-=0时j=k此时由AO=x,lB+yAC可得—而」豆2故是以」。为斜边的直角三房形测cosZBAC=――=—『AC5当了丈0时油」。二恐M+h■^得而率画+2姊,JXE
如如殳:克=;^」灸=莎「则五j=15「:石=
-_*?r—►-—-2jt由也二一也+2丁”及!+2”1知点RQF共WT线,又由不=!万知F为』C中点敖Ofi'IAC.
24F1所以,cos蜀Id二AE3蜘L可知'cos^BAC=-』=-.53咧5,已知点。是7配蹄隈圆圆心且册二3M=4若#20实数2使厚而血“无且计2片1|则
COS/BJC=.
AO^xAB^yAC^xAB+ly^AD,而工+2y二1鬲点三点共线,已知点0是脚。的外心,司得8DLAC「故有配二朋戏JC=4,求得cosZBAC=-.
3例&设0MBC的外心(三角形外接圆的圆心).若而二项+!无顶的翩执)3?
A3('。
骼取K中点。项帽"=:而+=扔器点日如三点共线f已知点0是典的外心f可得81)1ACt即有如二B。二2D。出可求饵ZBAC=60°.
「点P在直埃•邛上「旦满是OP=2tPA+tOB{tER)f则A.-8-
32解答:由巳知矛=二扁而J点P在酸AB上,】+力得寿心,解得心或日*W可得—1—[—P』]=_0P+_Qn此时A为PB电瓦日飞;当
22四2
1二:时,可得亦二如扫;。项,此时P为AB中点*例&已知。为WC的外心『端>0),a商」0120「若而”而+y无印为实数),则•r+j‘的最小值为_.
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幕答:如囹f设A0(]BC^EtE0=mtAO=Rt则
—*R—Rj—=■—易知如=如兰卜朋+其故,其中R-tnRf'j
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EiT,眼\R,故蛆知可得"尸一r2K-m而求醐围是[2S㈣已知。为地。的外加^=iX=2Z&4(>120\§电+4』。「则4+4=.
A
0
解法1:如圈,设」onsc二E3。二如」。二Rf
2=心犯=(一商),得洒_板|(4
13故4+£」为平面内两个互招垂直的单位向却,若向蚩满足国=冬冬3£11)次!|;『的皱小值为
Mnc于F点』Offl况于G点顶易知
^O=—X£=—fM中R-m/?_用i}
闩十/I『由已知可^OG=—=—,故37
AF+OG,OG13=]+——=_.
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可求得小十孙必,
解法2:•XL招3既+事C,前1X1一]=_解答:如图j由已知-"一b+―a「设&=0』,Z-1人Tb=OBt-2=OC测点「在直线朋上,神膏有
[』。』厂=4朋*」。+足K
8=16z-U2f瑚牌
「*(4,0)(
/--6....13故小]*6A=-
,6
解法3:设圳但0),5(4,0)《(-L占"外心。是册中戳中畅辛普的翊切1L如图「在醮棍形顾力中…北JL功/ABUDSDC1,朋2「动点P在以点。为圆心:目与直线班)相切的圆上或圆内移动「设亦二痂小赤(2/球)『贝豚"取值范围是■
D
B
C
0D
蹈:设JPCI肋二£-伍=叽AP=nt则
解答:如图,在OB上取一点D,使。B=3OD』设
AP=^AE=^(xAH+yAC\t其中2尸1『得
2%.n5.
九+ii~二L~14[表示点P到BC边的■
m2V5OCrkUXE,说小,』有研化研也K函+J屋h其中玉+上二、另有次二«)j+W万二,得
,得所求取值范围是[L』一
**3)--=!+-.易知当点网点A垂合时三达mW用最小侑0,当点(:和点B重合时三这最大值2r故m工+3》].
例以如图在扇形OAB电-AOB=航C为驰A8上的
一个动点,若伙I=xOA-\-yOB,则卜的取值范围是也队gX4BC中『Z®JC=90°「以AB为F向
AI5C^12XtBDr€ZB®=2Z-1CDr
AiIt
解:如图,设点D关于AC的对称点为P,=et则ZB(7)=淑ZC7)'D=90◎-伏/匚丽=1渺-3仗在
痂+(22Z)jc|=|jLSJIz)-2Jc|=|xSi(lJC)AD
侬最小值是2,
也CUABCZ)中利用正弦定理得
设权=2如十(1“)而,则点E在鼬AD上,
CD_RD_DD*_CD|(叫泗(15(f-坳■孟函-慕^-血(咐邓)从而徊血(150'-3。)二血蹲0'-0),从而150、39=90°-0或囱-拓+90'-&二回从而得。=,若网+(2-以)闯的最小值是人则对于MfiC内一点P「函伽+同的最小—.
AB=4fAC=2『AD=4f故当AE长度最小为2时「E为BD中点一蛇1功,得ZBJC=120°,取BC中点F健结AF商AF中点G,=2^-成'2当点P与点G重合时』有最小值
例15,MfiC内接于以0为圆心,1为半径的圆,旦3dA+4OB+5OC=d「则无,而=_,解:I疝+翩1+疫l两边平方得寥而如,3—4一'f一一、1I1OCAB^—OA—QB08-。4—+-QK明―.55「f555
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