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一、空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和
2圆柱的表面积S2rl2r2
3圆锥的表面积Srlr2
4圆台的表面积Srlr2RlR2
5球的表面积S4R2
二、空间几何体的体积
VSh
1柱体的体积底
1
VSh
2锥体的体积3底
1
V(SSSS)h
3台体的体积3上上下下
4
VR3
4球体的体积3
三、直线、平面平行的判定与性质
1、直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,
用符号表示为a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α。
(1)运用直线与平面平行的判定定理时,必须具备三个条件:
①平面外一条直线;②平面内一条直线;③两条直线相互平行.
(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行,证两直线平行是平面
几何的问题,所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想.
(3)判定直线与平面平行有以下方法:一是判定定理;二是线面平行定义;三是
面面平行的性质定理.
【例1】如右图所示,已知P、Q是单位正方体ABCD—ABCD的面ABBA和面
111111
ABCD的中心.
求证:PQ∥平面BCCB.
11
证:如右图,取BB中点E,BC中点F,连结PE、QF、EF,
1
∵△ABB中,P、E分别是AB和BB的中点,
1111
11
∴,∴PEQF.
211211
∴四边形PEFQ是平行四边形.
∴PQ∥EF.
又PQ⊄平面BCCB,EF⊂平面BCCB,
1111
∴PQ∥平面BCCB.
11
优秀学行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线,则这两个平面平
:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α
(1)运用判定定理证明平面与平面平行时,两直线是相交直线这一条件是关键,
缺少这一条件则定理不一定成立.
(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,
逐步由空间转化到平面.
(3)证明平面与平面平行的方法有:判定定理、线面垂直的性质定理、定义.
(4)平面与平面的平行也具有传递性.
【例2】如右图所示,正三棱柱ABC—ABC各棱长为4,E、F、G、H分别是
111
AB、AC、AC、AB的中点,
1111
求证:平面AEF∥平面BCGH.
1
思晨分析:本题证面面平行,可证明平面AEF内的两条相交直线分别与平面BCGH
1
平行,然后根据面面平行的判定定理即可证明.
证明:△ABC中,E、F分别为AB、AC的中点,
∴EF∥BC.
又∵EF⊄平面BCGH,BC⊂平面BCGH,
∴EF∥平面BCGH.
又∵G、F分别为AC,AC的中点,
11
∴AGFC.
1
∴四边形AFCG为平行四边形.
1
∴AF∥GC.
1
又∵AF⊄平面BCGH,CG⊂平面BCGH,
1
∴AF∥平面BCGH.
1
又∵AF∩EF=F,
1
∴平面AEF∥平面BCGH.
1
3、直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线
与该直线平行。
用图形表示为:
用符号表示为:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
优秀学行的性质定理是证线线平行的一个途径.
(2)证线线平行的途径还有:三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质
定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等.
【例3】如右图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PC
的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)判断BC与l的位置关系,并证明你的结论.
(2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论.
解:
(1)BC∥l.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD.
又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BC∥平面PAD.
又BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l.∴BC∥l.
(2)MN∥平面PAD.
证明:取CD的中点E,连结ME、NE.
∵M、N分别为AB、PC的中点,
∴ME∥AD,NE∥PD.
又ME⊄平面PAD,NE⊄平面PAD,
∴ME∥平面PAD,NE∥平面PAD,
又ME∩NE=E,
∴平面MNE∥平面PAD.
而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
用图形表示为:
用符号表示为:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
【例4】如下图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间,
点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E.
(1)求证:ABBC=DEEF;
(2)设AF交β于M,AD与CF不平行,α与β间的距离为h′,α与γ之间的距
离为h,当h′h的值是多少时,S△BEM的面积最大?
优秀学行的经验总结:
(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.
(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个
平面.
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个也相交.
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线必垂直于另一个
平面.
(6)平行于同一个平面的两个平面平行.
(7)平行于同一条直线的两条直线平行.
优秀学行来推证两条直线平行,则这两条直线必须是这两个平行平面与第
三个平面的交线.
实战演练
1、直线a∥α,则()
解析:如右图,在正方体中,直线BC∥平面A′C′,但是平面A′C′内的直线
B′C′和A′D′均平行于直线BC,所以A错;直线A′B′⊥BC,直线C′D′⊥BC,
即平面A′C′内有两条直线垂直于BC,所以C和D错,应选B.
2、已知直线a,b,c及平面α,β,下列条件中,能使a∥b成立的是()
∥α,b⊂∥α,b∥α
∥c,b∥∥α,α∩β=b
解析:a∥α,b⊂α,则a∥b或a,b异面,A错;a∥α,b∥α,则a∥b或a,
b异面或a,b相交,B错;a∥α,α∩β=b,则a∥b或a,b异面,D错;事
实上,a∥c,b∥c,则a∥b,这是公理4,所以C正确.
3、设l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命
题:
①若l∥n且m∥n,则l∥m;
②若l∥α且m∥α,则l∥m;
③若n∥α且n∥β,则α∥β;
④若α∥γ且β∥γ,则α∥β;
其中正确命题的序号是________.(把正确命题的序号都填上)
解析:根据平行的传递性,显然①④正确;如右图所示,长方体ABCD-A′B′C′D′
中,直线AD∥平面A′C′,直线AB∥平面A′C′,但是直线AD与直线AB相交,
所以②错;直线AB∥平面A′C′,直线AB∥平面C′D,但是平面A′C′∩平
面C′D于直线C′D′,所以③错.
答案:①④
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4、如右图所示,在三棱柱ABC—ABC中,M、N分别是BC和AB的中点.
11111
求证:MN∥平面AAC.
11
证明:设AC中点为F,连接NF,FC,
11
∵N为AB中点,
11
∴NF∥BC,且NF=BC,
1111
又由棱柱性质知BCBC,又M是BC的中点,
11
∴NFMC,∴四边形NFCM为平行四边形.
∴MN∥CF,又CF⊂平面AAC,MN⊄平面AAC,
1111
∴MN∥平面AAC.
11
四、直线与平面垂直的判定与性质
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证明线面垂直的方法:
一是线面垂直的判定定理;
二是利用面面垂直的性质定理;
三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平
面).
注:线线垂直线面垂直
:
P
AO
a
PA是平面的一条斜线,AO是PA在平面内的射影,则锐角PAO叫做这条
直线和这个平面所成的角
:跟斜线垂直的直线必定与斜线的射影垂直
跟斜线射影垂直的直线必定与此斜线垂直
:
性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行。
注:线面垂直线线平行
【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC
=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.
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实战演练
1、若平面外一条直线l与内两条直线都垂直,则l与的位置关系为()
//相交D。无法确定
2、“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的()
。必要不充分条件
。不充分也不必要条件
3、判断下列命题是否正确
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;
(2)垂直于同一平面的两条直线相互平行;
(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线相互垂直。
(4)已知直线a,b和平面,且ab,a,则b//
4、对于任意直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()
。垂直C。相交D。互为异面直线
ABCD中,求证:
1111
(1)AC平面BBDD,(2)BD平面ACB
11111
//b,a,求证b
,已知PA⊥平面ABC,AC⊥BC,O、D分别为AB、AC的中点,求证:OD
⊥平面PAC。
P
O
AB
D
C
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,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
MN⊥CD。
P
N
A
D
M
BC
ABCD中,证明(1)ACDB2ACBC
111111111
ABC中,过点A作PA平面ABC,AEPB于E,
AFPC于F,
(1)求证:BC平面PAC;(2)求证:PB平面AEF。
P
E
F
AB
C