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§
最新考纲
.
,理解两个向量相等的含义.
.
、减法的运算,并理解其几何意义.
,理解两个向量
共线的含义.
.
考情考向分析
主要观察平面向量的线性运算
(加法、减法、数乘向量)及其几
何意义、共线向量定理,常与三
角函数、分析几何交汇观察,有
时也会有创新的新定义问题;题
型以选择题、填空题为主,属于
作为工具出现.
名称
定义
备注
向量
拥有大小和方向的量;向量的大
平面向量是自由向量
小叫做向量的长度(或称模)
零向量
长度为0的向量;其方向不确立
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±a
|a|
平行向量(共
共线向量的方向同样或相反
0与任一直量平行或共线
线向量)
相等向量
同向且等长的有向线段
两向量只有相等或不等,不可以比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算定义法规(或几何意义)运算律
求两个向量和的
向量的加法
运算
求a与b的相反向
向量的减法量-b的和的运算
叫做a与b的差
交换律:a+b=b
a;
结合律:(a+b)+c
a+(b+c)
a-b=a+(-b)
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a
务实数λ与向量a
λ<0时,λa
数乘向量
的方向同样;当
的积的运算
的方向与a的方向相反;当
=0时,λa=0
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=(λμ)a;
(3)λ(a+b)=λa+λb
假如a=λb,则a∥b;反之,假如a∥b,且b≠0,则必定存在独一一个实数λ,使a=λb.
看法方法微思虑
b与
a共线,则存在实数
λ使得
b=λa,对吗?
提示
不对,因为当
a=0,b≠0时,不存在λ满足
b=λa.
?
提示λa的大小为|λa|=|λ||a|,方向要分类谈论:当λ>0时,λa与
与a反方向;当λ=0或a为零向量时,λa为零向量,方向不确立.
a同方向;当λ<0
时,λa
?
提示假如a=λb,则a∥b;反之,假如
a∥b,且
b≠0,则必定存在独一一个实数
λ,使得
a=λb.
题组一思虑辨析
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量不可以比较大小,但向量的模可以比较大小.(√)
(2)|a|与|b|能否相等与a,b的方向没关.(√)
(3)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
×)
→
→
A,B,C,D四点在一条直线上.(×
)
(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则
(5)当两个非零向量
a,b共线时,必定有
b=λa,反之成立.(√
)
(6)若两个向量共线,则其方向必定同样或相反.(×
)
题组二
教材改编
→
→
→
→
?ABCD的对角线AC和BD订交于点O,且OA=a,OB=b,则DC=________,BC=
________.(用a,b表示)
答案b-a-a-b
分析
→
→→
→
如图,DC
=AB=OB-OA=b-a,
→→→→→
BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b.
→→→→
,若|AB+AD|=|AB-AD|,则四边形ABCD的形状为________.
答案矩形
→→→
分析如图,因为AB+AD=AC,
→→
→
AB-AD=DB,
→
→
所以|AC|=|DB|.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,四边形
ABCD是矩形.
题组三
易错自纠
,b,“a+b=0”是“a∥b”的( )
.充分不用要条件
.必需不充分条件
答案
A
分析
若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.
若a∥b,则a+b=0不必定成立,故前者是后者的充分不用要条件.
,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.
答案
1
2
分析
∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在独一的实数μ,
λ=μ,
解得λ=μ=1.
使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则
1=2μ,
2
1
2
→
=λ1→
+λ2→1
,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2AB,BE=
AB
AC(λ,
λ2
为实数),则λ+λ的值为________.
12
答案
1
2
分析
→
→
→
1
→2
→
DE
=DB+BE=
AB+
BC
2
3
1→
2
→
→
1→
2→
=2AB+3(BA+AC)=-
6AB+
3AC,
∴λ
1,λ
2,即λ
1
1=-6
2=3
1+λ=2
2.
题型一平面向量的看法
:
①若两个向量相等,则它们的起点同样,终点同样;
②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;
→→
③若A,B,C,D是不共线的四点,且AB=DC,则ABCD为平行四边形;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
此中真命题的序号是________.
答案③
分析①错误,两个向量起点同样,终点同样,则两个向量相等;但两个向量相等,不必定有同样的起点和终点;
②错误,若b=0,则a与c不必定共线;
→→
→→
→→
③正确,因为AB=DC,所以
|AB|=|DC|且AB∥DC;又A,B,C,D是不共线的四点,所以
四边形ABCD为平行四边形;
④错误,当a∥b且方向相反时,即使
|a|=|b|,也不可以获取a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a
=b的充要条件,而是必需不充分条件;
⑤错误,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不必定共线.
故填③.
:
①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|,
此中正确命题的个数是(
)
答案
A
分析
只有④正确.
思想升华向量有关看法的要点点
(1)
向量定义的要点是方向和长度.
(2)
非零共线向量的要点是方向同样或相反,长度没有限制.
(3)
相等向量的要点是方向同样且长度相等.
(4)
单位向量的要点是长度都是一个单位长度.
(5)
零向量的要点是长度是
0,规定零向量与任何向量共线.
题型二平面向量的线性运算
命题点1
例1(2017
向量加、减法的几何意义
·全国Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
)
⊥b
∥b
B.|a|=|b|
D.|a|>|b|
答案
A
分析方法一∵|a+b|=|a-b|,
|a+b|2=|a-b|2.
a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b.
a·b=0.∴a⊥b.
应选A.
方法二利用向量加法的平行四边形法规.
在?ABCD
→→
中,设AB=a,AD=b,
→→
由|a+b|=|a-b|知,|AC|=|DB|,
从而四边形ABCD为矩形,
即AB⊥AD,故a⊥b.
应选A.
命题点
2
向量的线性运算
例2(1)(2019包·头模拟)在平行四边形
ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,
→
→
→
)
设AB=a,AD=b,则向量BF等于(
1
2
1
2
+
3b
B.-
3a-
3b
1
2
1
2
C.-3a+3b
-3b
答案
C
→
2→
2→→2
1
1
2
分析
BF=3BE=
3(BC+CE)=3b-2a=-3a+3b,应选C.
(2)(2018全·国Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,
→
E为AD的中点,则EB等于( )
3→
-
1→
1→
-
3→
A.
AB
4
AC
AC
4
4
4
3→
+
1→
1→
3→
C.
AB
4
AC
+AC
4
4
4
答案
A
分析作出表示图以以下图.
→→→1→1→
EB=ED+DB=2AD+2CB
1
1
→→
1
→→
=
×(AB+AC)+
(AB-AC)
2
2
2
3→1→
=4AB-4AC.
应选A.
命题点3依据向量线性运算求参数
例3在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,
→→→
若AE=AD+μAB,则μ的取值范围是________.
答案
1
0,2
分析
由题意可求得AD=1,CD=
3,
→
→
∴AB=2DC.
∵点E在线段CD上,
→
→
∴DE=λDC(0≤λ≤1).
→
→
→
→
→
∵AE=AD+DE=AD+λDC,
→
→
→
→
→
,
又AE=AD+μAB=AD+2μDC
λ
∴2μ=λ,即μ=2.
1
∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤2.
思想升华平面向量线性运算问题的常有种类及解题策略