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边坡可靠度分析的随机响应面法及程序实
现
第29卷第8期
2010年8月
岩石力学与工程学报
ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering
Aug.,2010
边坡可靠度分析的随机响应面法及程序实现
李典庆,周创兵,陈益峰,姜清辉,荣冠
(,湖北武汉430072~,湖北武汉430072)
摘要:提出分析相关非正态变量可靠度计算问题的随机响应面法,采用Nataf变换成功地解决输入变量相关时随
,6阶Hermite随机多项式展开的解析表达式,并编写基于c撑
,基于Nataf变换的随机响应面法能够有效分析含
响应面法的计算精度优于传统的FORM方法,其计算效率高于传统
的蒙特卡罗模拟方法,其收敛性在数学意义上
计没有影响,但是在边坡失效概率的计算中要
分析框架内,边坡安全系数计算和可靠度分析
2个过程分开独立进行,同时计算安全系数和失效概率能够更加系统
机响应面法在边坡可靠度分析中的应用奠定了一定的基础.
关键词:边坡工程;边坡可靠度;随机响应面法;随机多项式;概率配点;
相关非正态变量
中圈分类号::A文章编
号:1000—6915(2010)08—1513—11
RELIABILITYANALYSISOFSLOPEUSINGSTOCHASTIC
RESPoNSESURFACEMETHoDANDCoDEIMPLEMENTATIoN
LIDianqing’2ZHOUChuangbing,,CHENYifeng,JIANGQinghui,RONGGuan,
ience,WuhanUniversity,Wuhan,Hubei430072,
China;
ring,Min&tryofEducation,WuhanUniversity,
Wuhan,Hubei430072,China)
Abstract:Thispaperaimsatproposingastochasticresponsesurfacemethod(SRSM)forreliabilityanalysis
nonnormalrandomvariablesintotheindependentstandardnormalvariables,whichfacilitatesthecollocation
polynomialsarederivedforfourth--ordertosixth--orderHermitepolynomialchaosexpansionsofanynumberof
??一
languagebasedcomputerprogramWHUSRSM(WuhanUniversitySRSM)isdeveloped.
Anexampleofreliabilityanalysisofrockslopestabilitywithplanefailureispresentedtodemonstratethevalidity
thantheconventionalfirstorderreliabilitymethod;anditsefficiencyishigherthanMonteCarlosimulations.
收藕日期l2010一O1—3l;修回日期l2010—04—27
基金项目:国家自然科学基金重点项目(50839004);国家杰出青年科
学基金项目(50725931);”十一五”国家科技支撑计划重大项目
(2OO8BAB29B01);
教育部新世纪优秀人才计划项目(NCET一08—0415)
作者简介李典庆(1975一),男,博士,1998年毕业于河海大学机电工程
学院机械设计与制造专业,现任教授,博士生导师,主要从事岩土工程
可靠度及风险调控理论,高坝大库系统寿命评估理论及风险分析等
—mail:******@
?1514?岩石力学与工程学报2010芷
Moreover,
,theordersof
offactorofsafetyandthereliabilityanalysiscanbeconductedseparatelywithintheframeworkoftheSRSM
applicationoftheSRSMtoreliabilityanalysisofrockslopestability.
;slopereliability;stochasticresponsesurfacem
ethod;polynomialchaos;probabilistic
collocation;correlatednonnormalrandomvariables
1引言
随着可靠度理论的迅速发展和日趋完善,它在
岩土工程中日益得到重视并已经得到广泛的应用lJJ.
如2010年1月15,16日在宜昌三峡工地召开的全
国性水利水电工程风险分析及可靠度设计方法研讨
会又涌现出一批有关水利水电工程结构可靠度分析
,陈祖煜等[21认为,岩土工程中应
外,
岩土工程可靠度分析方法的研究L3】.规范【J明确建
议,对于一级边坡有条件时应进行可靠度分析,可
见边坡采用可靠度分析方法是大势所趋.
目前常用的边坡可靠度计算方法有一次二阶矩
~(FORM)f,响应面法(RSM)【6j,蒙特卡罗模拟方
法0vIcs,自适应重要抽样方法【,[】
的边坡可靠度计算方法一随机响应面法(stochastic
responsesurfacemethod,SRSM).
等【1仉?J提出了随机响应面法,将其应用于环境和生
物系统的不确定性分析,并开发了Web版本的随机
用KL正交级数展开将随机场进行离散,研究了基
于概率配点的随机响应面法在结构可靠度分析中的
响应面法计算程序CSRSM,并探讨了随机响应面法
】采用
基于概率配点的随机响应面法分析了单桩沉降可靠
,[】
将基于乔列斯基分解的相关变量独立化方法引入到
随机响应面法中,但并没有给出算例来证明所提方
,Isukapalli方法只适用
于相关正态变量的情况,这也是许多可靠度计算方
法称可以解决相关变量问题最容易隐藏的缺点之
——
.
尽管随机响应面法在可靠度分析中得到了一定
的应用,也取得了一些可喜的进展,然而综合国内
外研究可以看出,目前基于随机响应面法的可靠度
研究主要存在以下3个方面不足:首先,现有随机
响应面法均不能分析含有相关非正态变量的可靠度
,岩体力学参数如黏聚力和内摩擦
角间存在明显的统计负相关性,岩质边坡张裂缝中
充水深度百分比和张裂缝深度也存在明显的负相关
关系,而且张裂缝中充水深度百分比服从截尾指数
,如果不解决相关非正态变量的可靠
度分析问题,随机响应面法在边坡可靠度分析中的
,目前随机响应面法的
Hermite随机多项式展开的解析表达式仅限于2和3
阶,当然它们对于一些简单的情况如输入随机变量
近似服从正态分布,失效概率大于lO时是有效的.
但是当输入随机变量或输出随机响应量是强非正态
分布变量时如均匀分布变量,常用的2和3阶随机
,当所分析问题
的失效概率较小,如失效概率量级为10,,10时,
,有必
要采用更高阶的Hermite随机多项式展开,遗憾的
是目前还未有3阶以上Hermite随机多项式展开的
解析表达式,这严重妨碍了高阶Hermite随机多项
,现有随机响
应面法考虑的变量分布类型也非常有限,如常用的
截尾指数分布与标准正态随机变量的映射关系未见
,本文提出了考虑相关非
正态变量的随机响应面法,采用Nataf变换方法[】5】
第29卷第8期李典庆,
现
分析随机响应面法中输入非正态变量间的相关性问
,6阶Hermite随机多项式展开的解析
边坡可靠度分析中的有效性,并定量地研究了边坡
稳定性分析的安全系数和可靠度之间的关系.
2随机响应面法基本原理
随机响应面法最早是由Isukapalli于1998年在
研究环境和生物系统的不确定性问题中提出来的.
从数学理论背景来讲,随机响应面法最早可追溯
[161对布朗运动的研究,他在对布朗运
动的随机过程理论研究中提出了齐次随机函数的
量向量表示为标准正态分布随机变量的函数,
即
(一1)ec,e一U(4)
为了简化,式(3)通常表示为
P
】,():?c,哆()(5)
j=o
这里,Cj和口,,()和()之间存在一一
((,)和rp()均构成Hilbe~空间的
完备正交基,且有
(,)=()(6)
式中:为Kroneckerdelta符号;()为内积运
算,定义为
,,,十o.(厂(),g())=If(U)g(U)W(U)dU
f71
=F一【()](1)式中
:?为权重函数,可表示
式中:F[.]为累计概率分布函数的反函数,(.)
为标准正态分布的累计概率分布函数,为标准正
说,它和标准正态分布随机变量之间的映射关系?
如下:
X=+axU(2)
式中:,
机变量的个数(随机空间的自由度)根据定义问题的
需要确定,但为了减少计算工作量,通常选择最敏
感的随机变量作为输入随机变量.
在此基础上,把输出响应也表示为相同的标准
正态随机变量的函c)
根据式(3)可得,输出随机响应在随机空间自由
度为时,P阶Hermite随机多项式展开的项数?a
的计算公式[1为
?:!?r9,
.!p!,
在式(2)的基础上,
度计算来说,当失效概率较小(如小于10叫)时,2
和3阶随机多项式展开可能不能满足计算精度的需
要[1】o此外,对于均匀和分布等变量来说,2和3
,
图1给出了均匀分布的概率密度函数曲线的比较.
从图1可以看出,2阶随机多项式展开完全不能逼
近理论概率密度函数曲线,4阶随机多项式展开可
以近似理论概率密度函数曲线,但是在曲线拐角处
,6阶随机多项式展
见,发展高阶Hermite随机多项式展开的解析表达
展开的推广应用,本文推导了4,6阶Hermite随机
多项式展开的解析表达式y4,,其展开表达式分
别为
?1516?岩石力学与工程学报2010笠
冬
籁
霎
簿
窭
图1均匀分布的概率密度函数曲线的比较
uniformdistributionrandomvariables
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